Dubbio su limite notevole

[dewdeedewd3]

Salve ragazzi avrei dei dubbi sulla risoluzione di questo esercizio:

$ lim_(x -> 0) ((root(7)(1+x) -root(7)(1-x))/ (log(1+x+sinx))) $

Qui ho provato a risolvere il numeratore in questo modo (sempre tenendo conto della forma indeterminata):

$ lim_(x -> 0) ((root(7)(1+x)*-[-root (7) (((1-x)/(1+x)))+1]))/ (log(1+x+sinx)) $


Poi effettuando gli eventuali calcoli:

$ lim_(x -> 0) ((root(7)(1+x)*-[-root (7) (((1-x+x-x)/(1+x)))+1]))/ (log(1+x+sinx)) $

$ lim_(x -> 0) ((root(7)(1+x)*-[-root (7) (1+(1-2x)/(1+x))+1]))/ (log(1+x+sinx)) $



Ho diviso e moltiplicato per $ (1-2x)/(1+x) $

Per ricondurmi al limite notevole: $ lim_(y -> 0) ((1+y)^alpha -1 )/y=alpha $ in questo caso $ alpha = 1/7 $

Il problema è invece il denominatore che non ho idea di come organizzarmi, ho pensato ad applicare il limite notevole: $ lim_(y -> 0) ln(1+y)/y=1 $

Secondo voi come potrei organizzare i fattori nell'argomento del logaritmo? Ho provato a mettere in evidenza x ma non ha funzionato.

[Mephlip]

Hai che $x+\sin x \to 0$ per $x \to 0$ e quindi il limite notevole del logaritmo si applica con $x+\sin x$ al posto di $y$.

[dewdeedewd3]

Grazie della risposta! Quindi sarebbe $ lim_(y -> 0) ((log(1+y))/(y)) = 1 $ con $ y = x+ sin(x) $ ?

[Mephlip]

Prego! Sì. Puoi procedere per sostituzione: chiami $t:=x+\sin x$ e ti accorgi che, quando $x \to 0$, è $t \to 0+\sin0 =0$. Perciò, per il teorema di sostituzione nei limiti, è:
$$\lim_{x \to 0} \frac{\log(1+x+\sin x)}{x+\sin x}=\lim_{t \to 0} \frac{\log(1+t)}{t}=1$$
Quindi, moltiplicando e dividendo per $x+\sin x$, dovresti riuscire a concludere (se bastano i limiti notevoli).

[dewdeedewd3]

Perfetto! Ti ringrazio, effettivamente era ovvio ma ad una certa ora non ci arrivavo

[pilloeffe]

Ciao luca97__,

"luca97__":Ho diviso e moltiplicato per $(1−2x)/(1+x) $

Per ricondurmi al limite notevole: $\lim_{y \to 0} ((1+y)^{\alpha}−1)/y=\alpha $ in questo caso $\alpha=1/7 $

Attenzione che qui c'è un errore di fondo: l'utilizzo del limite notevole che hai scritto prevede appunto che $y \to 0 $, mentre nel tuo caso avresti $y = (1−2x)/(1+x) $ che non tende a $0 $ quando $x \to 0 $...
Procederei con qualche manipolazione algebrica dal limite iniziale:

$\lim_{x \to 0} (root(7)(1+x) - root(7)(1-x))/(log(1+x+sinx)) = \lim_{x \to 0} (root(7)(1+x) - 1 - (root(7)(1-x) - 1))/(log(1+x+sinx)) = $
$ = \lim_{x \to 0} [(root(7)(1+x) - 1)/x 1/(1 + (sin x)/x) (x + sin x)/(log(1+x+sinx)) + (root(7)(1-x) - 1)/(-x) 1/(1 + (sin x)/x) (x + sin x)/(log(1+x+sinx))] $
$ = [1/7 \cdot 1/2 \cdot 1 + 1/7 \cdot 1/2 \cdot 1] = 1/7 $

[dewdeedewd3]

Grazie mille pillo! effettivamente sono partito direttamente applicando il limite senza pensare a ciò.