Dubbio su limite e lunghezza di una curva

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Salve a tutti, sullo svolgimento di un appello dovevo calcolare il limite di una funzione definita su R^2 salvo gli assi per studiare la continuità, solo che la prof facendo il limite in coordinate polari ha come risultato che il limite fa 1, mentre io applicando il teorema delle restrizioni ho come risultato che non esiste. Vorrei sapere chi ha ragione sul limite e perchè ho sbagliato in quanto l'unico errore che posso commettere è quello di non poter usare quella restrizione, ma non ne vedo il motivo...
Ecco i miei conti http://www.ciaocrossclub.it/root/discoremoto/elo%20go!/upp/photo_2016-01-03_11-23-58.jpg
In fondo alla pagina c'è un esercizietto sulle curve che non mi riesce ad andare avanti perchè non trovo la primitiva, come fareste voi?

[billyballo2123]

Dunque, il dominio di quella funzione non è $\mathbb{R}^2$ meno gli assi... è $\mathbb{R}^2$ meno l'origine. Per quanto riguarda il limite, hai ragione tu, il limite non esiste.
Infine per quanto riguarda l'integrale, hai sbagliato la funzione integranda: dovrebbe essere $\sqrt{1+\alpha^2t^2+9t^4}$ mentre tu hai scritto $\sqrt{1+\alpha^2t^2+9t^3}$.

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si. scusa ho fatto un errore di trascrizione, in quanto lo avevo fatto in una brutta e non potevo mandarvi quella, quell'integrale come si risolve? A me non riesce .
per la funzione il dominio me lo dava così la Professoressa, era una funzione definita per casi e il dominio di quella legge era per definizione R^2 salvo gli assi. grazie per la conferma della mia tesi

[billyballo2123]

Ah ok pensavo dovessi trovare il dominio "più grande possibile" in $\mathbb{R}^2$.
Per quanto riguarda l'integrale, sei sicuro/a che la curva sia quella? Perché ho provato a farmi calcolare la primitiva da wolfram alpha (prova anche tu online) e il risultato è spaventoso, il che mi porta a pensare che l'esercizio non ti stia chiedendo di calcolare quella primitiva.

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il testo è quello che ho scritto... magari c'è un modo diverso per fare quell'esercizio che non si basa sul calcolare la lunghezza integrando... però non saprei come altro fare... premetto che era l'esercizio per la lode.

[billyballo2123]

Però se non sbaglio l'integrale diventa fattibile se poni $\alpha=0$.

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anche io ci ho pensato però mi chiede i valori di alfa, non un valore... quindi non sarebbe completo...

[billyballo2123]

Bhè magari la sfida è capire che $\alpha$ è l'unico tentativo per cui vale la pena tentare (non so cos'altro pensare )

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Comunque sempre su wolframe alpha per trovare quell'integrale comunque sia mi viene una cosa assurda quindi per forza di cose non è questa la giusta via... io ho pensato al fatto che so quanto deve essere la lunghezza ossia b+b^3 , di procedere a modo ritroso fino a trovare come si fa l'integrale. infine l'intervallo di lunghezza che ho scritto come [a,b] è in realtà [0,b], quindi t+t^3 è una possibile primitiva che però non so da quale meschina sostituzione venga fuori.

[quantunquemente]

sotto radice si ha $1+4alpha^2t^2+9t^4$
se $4alpha^2=6$ abbiamo un bel quadrato di binomio : $(1+3t^2)^2$
una primitiva di $1+3t^2$ guarda caso è proprio $t+t^3$
etc...

[billyballo2123]

Trovato! Ho provato a vedere per quali $\alpha\in\mathbb{R}$ si ha che $1+4\alpha^2t^2+9t^4$ è un quadrato perfetto; voglio dire, dato che $(1+3t^2)=1+6t^2+9t^4$, se poniamo $4\alpha^2=6$ (ovvero $\alpha=\sqrt{3/2}$), otteniamo
\[
\int_0^b\sqrt{1+4\alpha^2t^2+9t^4}dt=\int_0^b\sqrt{(1+3t^2)^2}dt=\int_0^b(1+3t^2)dt=(t+t^3)\big|_0^b=b+b^3.
\]

[quantunquemente]

ti ho fregato per 3 minuti

[billyballo2123]

Cavoli davvero!!!! Non me l'aspettavo, soprattutto a quest'ora!!!!

[materia]

grandissimi grazie mille davvero! vi meritate la lode!