Dubbio su limite di una derivata
Ciao a tutti.
Voglio studiare la derivata della funzione $f(x)=2sqrt(x)$ ovvero $f'(x)=1/(sqrt(x))$ in $x=0$.
Posso studiare semplicemente $lim_(x -> 0^+) f'(x) $ oppure devo ricorrere alla deifinizione di derivata destra? Ho idee confuse al riguardo dato che ho sempre visto ricorrere alla definizione di derivata ma in questo caso mi sembra poter andar bene anche fare il limite dato che la funzione è continua a destra in $x=0$...
Voglio studiare la derivata della funzione $f(x)=2sqrt(x)$ ovvero $f'(x)=1/(sqrt(x))$ in $x=0$.
Posso studiare semplicemente $lim_(x -> 0^+) f'(x) $ oppure devo ricorrere alla deifinizione di derivata destra? Ho idee confuse al riguardo dato che ho sempre visto ricorrere alla definizione di derivata ma in questo caso mi sembra poter andar bene anche fare il limite dato che la funzione è continua a destra in $x=0$...
Risposte
Ciao! Devi usare la definizione.
ok e se con la definizione il limite del rapporto incrementale mi viene infinito posso affermare che la funzione non è derivabile a destra e che in zero ha tangente verticale giusto?
Sì, in realtà una funzione non è derivabile anche se il limite del rapporto incrementale non esiste e non solo quando è $\infty$ (anche se non è questo il caso, il limite esiste ed è $\infty$).
Per quanto riguarda il punto di flesso, boh! Non le ho mai imparate quelle nomenclature, comunque la dicitura corretta è "ha un punto di flesso a tangente verticale", non "ha tangente verticale"
Ma ti è chiaro (ed è molto più importante delle nomenclature) perché non puoi fare il limite della derivata e devi usare necessariamente la definizione?
Per quanto riguarda il punto di flesso, boh! Non le ho mai imparate quelle nomenclature, comunque la dicitura corretta è "ha un punto di flesso a tangente verticale", non "ha tangente verticale"
Ma ti è chiaro (ed è molto più importante delle nomenclature) perché non puoi fare il limite della derivata e devi usare necessariamente la definizione?
Grazie per la risposta!
Perchè a priori $f'(x)$ potrebbe non essere continua a destra in zero e il limite della derivata essere diverso dal valore della derivata destra nel punto?
"Mephlip":
Ma ti è chiaro (ed è molto più importante delle nomenclature) perché non puoi fare il limite della derivata e devi usare necessariamente la definizione?
Perchè a priori $f'(x)$ potrebbe non essere continua a destra in zero e il limite della derivata essere diverso dal valore della derivata destra nel punto?
Prego! Nel nostro esempio $f'$ è continua in ogni punto del suo dominio, quindi il problema è un altro; guarda questo post, nello specifico la risposta di gugo82.
Come vedi, nel nostro caso l'ipotesi che il limite della derivata esista finito in $x_0$ non è verificata, infatti
$$\lim_{x \to 0} f'(x)=\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}}=\infty$$
In sostanza, qualsiasi cosa tu voglia fare (ed essere certo che sia vera) deve essere giustificata da un teorema
Come vedi, nel nostro caso l'ipotesi che il limite della derivata esista finito in $x_0$ non è verificata, infatti
$$\lim_{x \to 0} f'(x)=\lim_{x \to 0^+} \frac{1}{\sqrt{x}}=\infty$$
In sostanza, qualsiasi cosa tu voglia fare (ed essere certo che sia vera) deve essere giustificata da un teorema
Chiarissimo! Grazie ancora 
Se provi a fare il conto ti accorgerai che alla fin fine ti ritrovi sempre lo stesso limite, sia che tu calcoli il limite della derivata sia quello del rapporto incrementale.
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