Dubbio su limite di integrale generale di un' Equazione Differenziale del terzo ordine

[EuMil1]

Buonasera, sono nuovo quindi mi scuso per eventuali errori nel post o nella sezione.

Mi ritrovo un po' in difficoltà nel fare questo esercizio:

Si consideri l'equazione differenziale:
y'''-2y''+5y'=0.
(i) Se ne determini l'integrale generale
(ii)Trovare, se esistono tutte le soluzioni y(t) tali che:

$ lim_(t -> -oo ) y(t) = pi $

Il primo punto l'ho fatto, mi ritrovo come soluzione generale $ y(t) = c_1 + t*c_2 +e^(t)*[sin(2t)+cos(2t)] $ , correggetemi se sbaglio.
Ora, il mio problema riguarda il secondo punto, ovvero non riesco a capire come posso determinare y(t) affinchè il suo limite faccia pi greco. Devo usare la definizione di limite?

Grazie mille, e scusate ancora per eventuali errori.

[Mephlip]

Ciao! Supponendo che la tua soluzione sia corretta (non ho fatto i conti), un suggerimento è: hai libertà di scelta sulle costanti $c_1$ e $c_2$.

[pilloeffe]

Ciao EuMil,

Benvenuto sul forum!

"EuMil":Si consideri l'equazione differenziale:
y'''-2y''+5y'=0.
(i) Se ne determini l'integrale generale
(ii)Trovare, se esistono tutte le soluzioni $y(t)$ tali che:

$\lim_{t \to -\infty} y(t) = \pi $

Il primo punto l'ho fatto, mi ritrovo come soluzione generale $y(t)=c_1+t c_2+e^t \cdot [sin(2t)+cos(2t)] $

Se l'equazione è quella che hai scritto, la soluzione è certamente errata, se non altro perché la soluzione di un'equazione differenziale del terzo ordine deve contenere 3 costanti $c_1 $, $c_2$ e $c_3$, non due...
Tuttavia, vista la struttura dell'equazione, conviene porre $u(t) := y'(t) $, sicché l'equazione differenziale proposta diventa la seguente:

$u''(t) - 2u'(t) + 5u(t) = 0 $

Quest'ultima ha soluzione $u(t) = e^t [c_1 sin(2t) + c_2 cos(2t)] $
Per trovare $y(t) $ occorre integrare $u(t) $ ottenendo la soluzione seguente:

$ y(t) = 1/5 e^t [(c_1 + 2c_2) sin(2t) + (c_2 - 2c_1)cos(2t)] + c_3 $

Se $ \lim_{t \to -\infty} y(t)= \pi $ è necessario che $c_3 = \pi $