Dubbio su limite

[Gmork]

Salve,

ho un dubbio riguardante il confronto degli infinitesimi, cioè....

sappiamo che $\lim_{x\to +\infty} \frac{\ln x^2}{x^2}=0$ ma come si comporta il limite quando si ha a che fare con gli infinitesimi?

Mi è capitato questo esercizio:

$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln (1+x+\frac{1}{x^2})+\ln x^2}{x^3}$

Attraverso sviluppo di Maclaurin mi sono accorto che $\ln (1+x)=x-(x^2)/2+o(x^2)$ allora $\ln [1+(x+1/x^2)]=(x+\frac{1}{x^2})+...$ e andandolo a sostituire ottengo

$\lim_{x\to 0^+} \frac{x+\frac{1}{x^2}+\ln x^2}{x^3}=(1/x^2)+(1/x^6)+\frac{\ln x^2}{x^3}$ (*)

Ora, come posso calcolare il limite del termine $\frac{\ln x^2}{x^3}$ ?

edit: Mi ero dimenticato il $x\to 0^+$ sotto il limite

[deserto1]

"Orlok":

$\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln (1+x+\frac{1}{x^2})+\ln x^2}{x^3}$

Non ti converrebbe scriverlo come $\lim_{x\to 0^+} \frac{\ln (x^2+x^3+1)}{x^3}$ e poi sviluppare $ln (x^2+x^3+1)$ ?

[Gmork]

Si, hai perfettamente ragione. Tra l'altro $\ln (\frac{x^2+x^3+1}{x^2})=\ln (x^2+x^3+1)-\ln x^2$ che mi risolverebbe molti problemi.

Grazie ancora.

[TesTes1]

Questo tipo di esercizio secondo me puoi risolverlo semplicemente per confronto, sai che $x^3$ è sicuramente un infinitesimo di ordine superiore di $ln(f(x))$.
Quindi "va a zero più velocemente" di conseguenza potresti vedere la frazione come un "numero piccolissimo su uno 0+" che tende ovviamente a infinito.

[Gmork]

Ma siamo sicuri che $\lim_{x\to 0^+} \ln x=0$ ???

[TesTes1]

Nono ovvimente non intendevo questo, avevo visto male io la parte al numeratore (non mi usciva la forma indeterminata) ed ho fatto tutt'altro ragionamento, sorry!!