Dubbio su limite

[danitudi97]

Salve a tutti,

sarò molto rompiscatole, ma un limite particolare mi sta dando problemi alla sua risoluzione.

Il limite è il seguente:

$lim_{x \to 0^+}(x^2 - sin(x^2))/(e^(-x) - root(3)(1-3x)) $

Genera la forma di indecisione $0/0$

Provato con:
- Sviluppi di McLaurin nell'intorno di 0;
- Teorema di De L'hopital;

Non sono riuscito a sciogliere la forma.

Uso degli asintotici nel seguente modo:
$sen(x^2) ~ x^2 $ ne segue che $lim_{x \to 0^+}(x^2 - sin(x^2))/(e^(-x) - root(3)(1-3x)) = 0/0^+ = 0 $

Mi sembra troppo brutale come soluzione.

Voi cosa dite.

Grazie in anticipo

EDIT: Perdonatemi c'è stato un errore nel scrivere il limite, il quale tende a $0^+$
Il Limite corretto è questo: $lim_{x \to 0^+}(x^2 - sin(x^2))/(e^(-x) - root(3)(1-3x)) $

[axpgn]

"danitudi97":Genera la forma di indecisione $0/0$

Sicuro? A me sembra infinito su infinito ... e mi pare che basti la gerarchia degli infiniti ...

[21zuclo]

"danitudi97":
Uso degli asintotici nel seguente modo:
$sen(x^2) ~ x^2 $

Completamente sbagliato! .. il limite è per $x\to +\infty$ .. se fosse stato per $x\to 0$ allora era giusto

il tuo limite è $ lim_{x \to \infty}(x^2 - sin(x^2))/(e^(-x) - root(3)(1-3x)) $

già la funzione $\sin(x)$ è una funzione limitata.. tra $-1$ e $1$

quando la $x\to +\infty$ si raccoglie il termine dominante..
in questo caso il NUMERATORE si fa così.. $ x^2-\sin(x^2) $ \( \sim \) $ x^2 $

POI il denominatore $ e^(-x)=(1)/(e^x) \to 0 $ per $x\to +\infty$

quindi ti resta solo quello che è sotto radice.. che per $x\to +\infty$ $ root(3)(1-3x) $ \( \sim \) $ 3^(1/3)x^(1/3) $

quindi hai che il tuo limite di partenza è asintotico a
$lim_{x \to \infty}(x^2 - sin(x^2))/(e^(-x) - root(3)(1-3x))$ \( \sim \) $(x^2)/(3^(1/3)x^(1/3))= (1)/(3^(1/3)) x^(5/3) \to +\infty$ per $x\to +\infty$

[danitudi97]

"axpgn":[quote="danitudi97"]Genera la forma di indecisione $0/0$

Sicuro? A me sembra infinito su infinito ... e mi pare che basti la gerarchia degli infiniti ...[/quote]

"21zuclo":[quote="danitudi97"]
Uso degli asintotici nel seguente modo:
$sen(x^2) ~ x^2 $

Completamente sbagliato! .. il limite è per $x\to +\infty$ .. se fosse stato per $x\to 0$ allora era giusto

il tuo limite è $ lim_{x \to \infty}(x^2 - sin(x^2))/(e^(-x) - root(3)(1-3x)) $

già la funzione $\sin(x)$ è una funzione limitata.. tra $-1$ e $1$

quando la $x\to +\infty$ si raccoglie il termine dominante..
in questo caso il NUMERATORE si fa così.. $ x^2-\sin(x^2) $ \( \sim \) $ x^2 $

POI il denominatore $ e^(-x)=(1)/(e^x) \to 0 $ per $x\to +\infty$

quindi ti resta solo quello che è sotto radice.. che per $x\to +\infty$ $ root(3)(1-3x) $ \( \sim \) $ 3^(1/3)x^(1/3) $

quindi hai che il tuo limite di partenza è asintotico a
$lim_{x \to \infty}(x^2 - sin(x^2))/(e^(-x) - root(3)(1-3x))$ \( \sim \) $(x^2)/(3^(1/3)x^(1/3))= (1)/(3^(1/3)) x^(5/3) \to +\infty$ per $x\to +\infty$[/quote]


Perdonatemi c'è stato un errore nello scrivere il limite, il quale tende a $0^+$
Il Limite corretto è questo: $lim_{x \to 0^+}(x^2 - sin(x^2))/(e^(-x) - root(3)(1-3x)) $