Dubbio su limite
Ciao a tutti,
ho un (grosso) dubbio su un esercizio di esempio svolto sul libro.
L'esercizio mi chiede di calcolare la convergenza in $(0,1)$ di $f_n(x)=\frac{n}{(1+nx)^2}$ che dice che non converge in quanto non è equilimitata nell'intervallo.
Ma è così perché facendo il limite
$lim_{n\to\infty}\frac{n}{(1+nx)^2}$ , per vedere la convergenza puntuale ,
quando $x=0$ il limite fa $\infty$ mentre quando $x=1$ il limite fa $0$?
Grazie e scusate la banalità della domanda
ho un (grosso) dubbio su un esercizio di esempio svolto sul libro.
L'esercizio mi chiede di calcolare la convergenza in $(0,1)$ di $f_n(x)=\frac{n}{(1+nx)^2}$ che dice che non converge in quanto non è equilimitata nell'intervallo.
Ma è così perché facendo il limite
$lim_{n\to\infty}\frac{n}{(1+nx)^2}$ , per vedere la convergenza puntuale ,
quando $x=0$ il limite fa $\infty$ mentre quando $x=1$ il limite fa $0$?
Grazie e scusate la banalità della domanda
Risposte
Mah. Sei sicuro che dica così? Quell'espressione converge a zero in $(0, 1)$. Diverso è se mi dici $[0, 1)$, perché chiaramente nel punto $x=0$ ci sono problemi.
"dissonance":
Mah. Sei sicuro che dica così? Quell'espressione converge a zero in $(0, 1)$. Diverso è se mi dici $[0, 1)$, perché chiaramente nel punto $x=0$ ci sono problemi.
Il testo dell'esercizio è:
Studiare la convergenza uniforme in $(0,1)$ della successione di funzioni $f_n(x)=\frac{n}{(1+nx)^2}$
E la soluzione dice che la successione converge puntualmente verso la funzione identicamente nulla. ma la convergenza non è uniforme in quanto la $f_n$ non è equilimitata in $(0,1)$
AAAAAAAAAHHHHHHHNNNNN
e vedi che è diverso? Se tu dici "non converge", io capisco "non converge manco puntualmente". Allora il libro dice una cosa giusta. Devi calcolare $\lVert f_n\rVert_\infty$ (conosci questo simbolo?), per rendertene conto.
e vedi che è diverso? Se tu dici "non converge", io capisco "non converge manco puntualmente". Allora il libro dice una cosa giusta. Devi calcolare $\lVert f_n\rVert_\infty$ (conosci questo simbolo?), per rendertene conto.
"dissonance":
AAAAAAAAAHHHHHHHNNNNN
e vedi che è diverso? Se tu dici "non converge", io capisco "non converge manco puntualmente". Allora il libro dice una cosa giusta. Devi calcolare $\lVert f_n\rVert_\infty$ (conosci questo simbolo?), per rendertene conto.
O ci è stato un errore di conversione in LateX oppure quella simbologia mi è completamente oscura
EDIT: Forse con lVert e rVert intendi il valore assoluto?
No, intendo questo: (scusami non mi ero accorto dell'errore di compilazione)
\[
\lVert f_n\rVert_{\infty}=\sup_{x\in (0, 1)} \lvert f_n(x)\rvert.
\]
E' una notazione comoda quando si studia la convergenza uniforme. Infatti, tu hai che $f_n\to f$ uniformemente se e solo se \(\lVert f_n-f\rVert_\infty \to 0\). Inoltre, dire che la successione è "equilimitata" equivale a dire che \(\lVert f_n\rVert_\infty\) (che è una successione di numeri) è limitata.
\[
\lVert f_n\rVert_{\infty}=\sup_{x\in (0, 1)} \lvert f_n(x)\rvert.
\]
E' una notazione comoda quando si studia la convergenza uniforme. Infatti, tu hai che $f_n\to f$ uniformemente se e solo se \(\lVert f_n-f\rVert_\infty \to 0\). Inoltre, dire che la successione è "equilimitata" equivale a dire che \(\lVert f_n\rVert_\infty\) (che è una successione di numeri) è limitata.
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