Dubbio su limite
ciao a tutti, ho un problema con il seguente limite:
$ lim_(x -> -oo ) (sqrt(4x^2-2)-sqrt(x^2+1))/(1-x) $
so di per certo che deve fare +1 (era un testo di un esame e in più l'ho inserito nei risoluti online di limiti) ma non riesco a capire perchè visto che secondo i miei passaggi viene -1..!ora vi mostro quello che ho fatto:
$ lim_(x -> -oo ) (x(sqrt(4x^2-2)/x-sqrt(x^2+1)/x))/(x(1/x-1)) = lim_(x -> -oo ) (sqrt((4x^2-2)/x^2)-sqrt((x^2+1)/x^2))/(1/x-1)=
lim_(x -> -oo ) (sqrt(4-2/x^2)-sqrt(1+1/x^2))/(1/x-1) =(sqrt(4)-sqrt(1))/-1=(2-1)/-1=-1 $
dove sto sbagliando? anche usando l'hopital mi viene lo stesso risultato..!
grazie a tutti in anticipo!!
$ lim_(x -> -oo ) (sqrt(4x^2-2)-sqrt(x^2+1))/(1-x) $
so di per certo che deve fare +1 (era un testo di un esame e in più l'ho inserito nei risoluti online di limiti) ma non riesco a capire perchè visto che secondo i miei passaggi viene -1..!ora vi mostro quello che ho fatto:
$ lim_(x -> -oo ) (x(sqrt(4x^2-2)/x-sqrt(x^2+1)/x))/(x(1/x-1)) = lim_(x -> -oo ) (sqrt((4x^2-2)/x^2)-sqrt((x^2+1)/x^2))/(1/x-1)=
lim_(x -> -oo ) (sqrt(4-2/x^2)-sqrt(1+1/x^2))/(1/x-1) =(sqrt(4)-sqrt(1))/-1=(2-1)/-1=-1 $
dove sto sbagliando? anche usando l'hopital mi viene lo stesso risultato..!
grazie a tutti in anticipo!!
Risposte
Sbagli perché non ti ricordi di un valore assoluto. 
e dove dovrei metterlo questo valore assoluto?anche perchè ho scoperto che per x-->+inf il risultato è -1...ma in questi passaggi cosa cambia se x tende a + o - infinito?
Il problema è che l'uguaglianza:
\[
\sqrt{f(x)} = x\ \sqrt{\frac{f(x)}{x^2}}
\]
(con \(f(x)> 0\) definita in un intorno di \(-\infty\)) è falsa per \(x<0\): infatti, se fosse vera, il numero negativo \(x\ \sqrt{\frac{f(x)}{x^2}}\) sarebbe uguale al numero positivo \(\sqrt{f(x)}\), il che è palesemente assurdo.
L'uguaglianza corretta è:
\[
\sqrt{f(x)} =|x|\ \sqrt{\frac{f(x)}{x^2}}
\]
e ciò discende, fondamentalmente, dal fatto che:
\[
\sqrt{y^2} = |y|
\]
per ogni \(y\in \mathbb{R}\).
Nel tuo caso, l'uguaglianza corretta è dunque:
\[
\sqrt{4x^2-2} - \sqrt{x^2+1} = |x|\ \sqrt{\frac{4x^2-2}{x^2}} - |x|\ \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = |x|\ \left( \sqrt{4-\frac{2}{x^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \right)
\]
e ciò importa che il limite si calcola come segue:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2-2} - \sqrt{x^2+1}}{1-x} &= \lim_{x\to -\infty} \underbrace{\ \frac{|x|}{x}\ }_{\color{maroon}{=-1} \text{ per } x<0}\ \frac{\sqrt{4-\frac{2}{x^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x} - 1} \\
&= - \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{4-\frac{2}{x^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x} - 1}\\
&= - \frac{2-1}{-1}\\
&=1\; .
\end{split}
\]
\[
\sqrt{f(x)} = x\ \sqrt{\frac{f(x)}{x^2}}
\]
(con \(f(x)> 0\) definita in un intorno di \(-\infty\)) è falsa per \(x<0\): infatti, se fosse vera, il numero negativo \(x\ \sqrt{\frac{f(x)}{x^2}}\) sarebbe uguale al numero positivo \(\sqrt{f(x)}\), il che è palesemente assurdo.
L'uguaglianza corretta è:
\[
\sqrt{f(x)} =|x|\ \sqrt{\frac{f(x)}{x^2}}
\]
e ciò discende, fondamentalmente, dal fatto che:
\[
\sqrt{y^2} = |y|
\]
per ogni \(y\in \mathbb{R}\).
Nel tuo caso, l'uguaglianza corretta è dunque:
\[
\sqrt{4x^2-2} - \sqrt{x^2+1} = |x|\ \sqrt{\frac{4x^2-2}{x^2}} - |x|\ \sqrt{\frac{x^2+1}{x^2}} = |x|\ \left( \sqrt{4-\frac{2}{x^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{x^2}} \right)
\]
e ciò importa che il limite si calcola come segue:
\[
\begin{split}
\lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{4x^2-2} - \sqrt{x^2+1}}{1-x} &= \lim_{x\to -\infty} \underbrace{\ \frac{|x|}{x}\ }_{\color{maroon}{=-1} \text{ per } x<0}\ \frac{\sqrt{4-\frac{2}{x^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x} - 1} \\
&= - \lim_{x\to -\infty} \frac{\sqrt{4-\frac{2}{x^2}} - \sqrt{1+\frac{1}{x^2}}}{\frac{1}{x} - 1}\\
&= - \frac{2-1}{-1}\\
&=1\; .
\end{split}
\]
aaaaaannnn vero!grazie mille!! 
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