Dubbio su intervallo limitato

[enricosilvestri38]

salve vorrei un chiarimento su intervalli limitati ed estremo superiore e inferiore.
Un intervallo(insieme) si dice limitato se e solo se per definizione esiste un L tale che ogni elemento dell'intervallo è compreso tra -L e L oppure se e solo se per definizione l'intervallo è limitato superiormente e inferiormente.
Secondo il teorema dell'esistenza dell'estremo superiore se l'intervallo è limitato superiormente allora esiste l'estremo superiore. Le mia domande sono :
1. se noi sappiamo che esistono l'estremo superiore e inferiore e sono numeri finiti allora l'intervallo è limitato?
2. il teorema dell'esistenza dell'estremo superiore vale anche per l'estremo inferiore ?
Grazie in anticipo

[gugo82]

1. Sì.
Dimostralo (è facile!).

2. Sì.
Si dimostra con un trucco algebrico: se $X$ è un insieme limitato inferiormente ed $L$ è l'insieme dei suoi minoranti, allora l'insieme $-X$ (fatto dagli opposti degli elementi di $X$) è limitato superiormente e $-L$ è l'insieme dei suoi maggioranti; detto $\Lambda$ il minimo di $-L$ (che coincide con l'estremo superiore di $-X$), si dimostra che $-\Lambda$ è il massimo di $L$ ossia l'estremo inferiore di $X$.