Dubbio su integrazione generale e impropria
Salve a tutti, svolgendo l'integrale da ( - \infty ) a (1/ln4)
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sono arrivato a trovare la primitiva

Avendo una discontinuità nel punto 0, quindi divido l'intervallo di integrazione nei sottointervalli ] (1/ln4 , 0 [ , ] 0 , -1 [ , ] -1 , \infty [ e su tali intervalli calcolo il valore dell'integrale, come riportato in foto

e ottengo i valori (1/4)ln5 + (1/4)ln(1/3) , dopo il primo valore deriva dal calcolo della primitiva in (1/ln4) e il secondo deriva dal calcolo del limite della primitiva con x= \epsilon per \epsilon che tende a zero da sinistra ( zero meno).
Qui emerge il problema: il risultato fornito come soluzione è (1/4)ln5 .
Potreste aiutarmi a capire se il mio errore è nel calcolo del limite ( epsilon che tende a zero meno ) o nell'applicazione dei principi del calcolo delle funzioni generalmente continue?
Grazie anticipatamente
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sono arrivato a trovare la primitiva

Avendo una discontinuità nel punto 0, quindi divido l'intervallo di integrazione nei sottointervalli ] (1/ln4 , 0 [ , ] 0 , -1 [ , ] -1 , \infty [ e su tali intervalli calcolo il valore dell'integrale, come riportato in foto

e ottengo i valori (1/4)ln5 + (1/4)ln(1/3) , dopo il primo valore deriva dal calcolo della primitiva in (1/ln4) e il secondo deriva dal calcolo del limite della primitiva con x= \epsilon per \epsilon che tende a zero da sinistra ( zero meno).
Qui emerge il problema: il risultato fornito come soluzione è (1/4)ln5 .
Potreste aiutarmi a capire se il mio errore è nel calcolo del limite ( epsilon che tende a zero meno ) o nell'applicazione dei principi del calcolo delle funzioni generalmente continue?
Grazie anticipatamente
Risposte
Ciao Giovastro,
Benvenuto sul forum!
La primitiva che hai trovato è corretta, per cui si ha:
$\int \frac{e^{1/x}}{x^2(e^{2/x} - 2e^{1/x} - 3)} dx = 1/4 ln|\frac{e^{1/x} + 1}{e^{1/x} - 3}| + c $
Perciò si ha:
$ \int_{-\infty}^{1/(ln4)} \frac{e^{1/x}}{x^2(e^{2/x} - 2e^{1/x} - 3)} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{e^{1/x}}{x^2(e^{2/x} - 2e^{1/x} - 3)} dx + \int_{0}^{1/(ln4)} \frac{e^{1/x}}{x^2(e^{2/x} - 2e^{1/x} - 3)} dx = $
$ = 1/4 [ln|\frac{e^{1/x} + 1}{e^{1/x} - 3}|]_{-\infty}^{0^-} + 1/4 [ln|\frac{e^{1/x} + 1}{e^{1/x} - 3}|]_{0^+}^{1/(ln4)} = 1/4 [ln|1/(-3)| - ln|2/(-2)|] + 1/4 [ln(\frac{4 + 1}{4 - 3}) - ln 1] = $
$ = 1/4 ln(1/3) + 1/4 ln 5 = 1/4 ln(5/3) $
Conclusione: salvo che non abbia commesso errori a mia volta il risultato che hai ottenuto è corretto...
Benvenuto sul forum!
La primitiva che hai trovato è corretta, per cui si ha:
$\int \frac{e^{1/x}}{x^2(e^{2/x} - 2e^{1/x} - 3)} dx = 1/4 ln|\frac{e^{1/x} + 1}{e^{1/x} - 3}| + c $
Perciò si ha:
$ \int_{-\infty}^{1/(ln4)} \frac{e^{1/x}}{x^2(e^{2/x} - 2e^{1/x} - 3)} dx = \int_{-\infty}^{0} \frac{e^{1/x}}{x^2(e^{2/x} - 2e^{1/x} - 3)} dx + \int_{0}^{1/(ln4)} \frac{e^{1/x}}{x^2(e^{2/x} - 2e^{1/x} - 3)} dx = $
$ = 1/4 [ln|\frac{e^{1/x} + 1}{e^{1/x} - 3}|]_{-\infty}^{0^-} + 1/4 [ln|\frac{e^{1/x} + 1}{e^{1/x} - 3}|]_{0^+}^{1/(ln4)} = 1/4 [ln|1/(-3)| - ln|2/(-2)|] + 1/4 [ln(\frac{4 + 1}{4 - 3}) - ln 1] = $
$ = 1/4 ln(1/3) + 1/4 ln 5 = 1/4 ln(5/3) $
Conclusione: salvo che non abbia commesso errori a mia volta il risultato che hai ottenuto è corretto...

Ciao pilloeffe,
grazie per la risposta. Quindi probabilmente è errato il risultato. Crisi superata
grazie per la risposta. Quindi probabilmente è errato il risultato. Crisi superata
