Dubbio su integrali fratti
Dato l'integrale:
$int((5x^2-3x-2)/(x^3-2x^2))$
devo calcolarlo.
Dopo aver applicato il metodo A/..+B/...+C/...a me risulta:
$2/x+1/x^2+3/(x-2)$
Ora, se devo integrare il risultato sarà:
$2ln|x|+ln|x^2|+3ln|x-2|+c$
giusto?
Perchè il mio prof come risultato mette:
$2ln|x|-1/x+3ln|x-2|+c$
e non capisco il perchè...
$int((5x^2-3x-2)/(x^3-2x^2))$
devo calcolarlo.
Dopo aver applicato il metodo A/..+B/...+C/...a me risulta:
$2/x+1/x^2+3/(x-2)$
Ora, se devo integrare il risultato sarà:
$2ln|x|+ln|x^2|+3ln|x-2|+c$
giusto?
Perchè il mio prof come risultato mette:
$2ln|x|-1/x+3ln|x-2|+c$
e non capisco il perchè...
Risposte
[tex]\displaystyle \int \frac{1}{x^2} dx = - \frac{1}{x}[/tex]!!
Mmm sto sclerando xD
Ma se faccio la derivata di $-(1/x)$ dovrebbe darmi $1/(x^2)$ e invece no!
Se faccio la derivata di $ln|x^2|$ invece mi risulta $1/(x^2)$
Non capisco perchè risulti$ -(1/x)$
Ma se faccio la derivata di $-(1/x)$ dovrebbe darmi $1/(x^2)$ e invece no!
Se faccio la derivata di $ln|x^2|$ invece mi risulta $1/(x^2)$
Non capisco perchè risulti$ -(1/x)$
Ahhhhhhhhhhhhh!!!
$int x^n = x^(n+1)/(n+1)$
Grazie
$int x^n = x^(n+1)/(n+1)$
Grazie
Ho un altro integrale:
$int (x^4-x^2+3)/(x^2-1)$
Lo risolvo con divisione di polinomi e ho quoziente= $x^2$ e resto=$3$
Quindi svolgo e ho:
$x^2+3/(x-1)+3/(x+1)$
Ma invece al mio prof risulta:
$x^2-3/(2(x-1))+3/(2(x+1))$
Perchè?? -.-''
$int (x^4-x^2+3)/(x^2-1)$
Lo risolvo con divisione di polinomi e ho quoziente= $x^2$ e resto=$3$
Quindi svolgo e ho:
$x^2+3/(x-1)+3/(x+1)$
Ma invece al mio prof risulta:
$x^2-3/(2(x-1))+3/(2(x+1))$
Perchè?? -.-''
La divisione è giusta. L'integrale diventa
[tex]\displaystyle \int x^2 dx + \int \frac{1}{(x+1)(x-1)}dx=\frac{x^3}{3}+\int \frac{1}{(x+1)(x-1)}dx[/tex]
Usiamo il metodo dei fratti semplici sul secondo integrale:
[tex]\displaystyle \frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{x(A+B)+ (B-A)}{x^2-1}[/tex]
dunque $\{(A+B=0),(B-A=1):}\to B=1/2, A=-1/2$
Direi che puoi finire tu.
Paola
[tex]\displaystyle \int x^2 dx + \int \frac{1}{(x+1)(x-1)}dx=\frac{x^3}{3}+\int \frac{1}{(x+1)(x-1)}dx[/tex]
Usiamo il metodo dei fratti semplici sul secondo integrale:
[tex]\displaystyle \frac{1}{x^2-1}=\frac{A}{x+1}+\frac{B}{x-1}=\frac{x(A+B)+ (B-A)}{x^2-1}[/tex]
dunque $\{(A+B=0),(B-A=1):}\to B=1/2, A=-1/2$
Direi che puoi finire tu.
Paola
Ottimo grazie mille
No aspetta...deve esserci il 3 a numeratore! Perchè avendo resto 3 moltiplico il 3 per il denominatore no?
Sì, errore mio, ma il procedimento è quello.
Paola
Paola
Sono incastrato su un altro esercizio:
$int (x^5+1)/(x^4-x^2)$
1) faccio la divisione e ho: quoziente=$x$ e resto=$1-x^3$
2) mi risulta quindi:$x+(1-x^3)/(x^2(x^2-1))$
3) Ora dovrei fare i fratti giusto? Ma qui sorge il mio problema. infatti eseguendo $A/(x^2)+B/(x^2-1)$ mi viene un risultato strano ovvero: $Ax^2-A+Bx^2$, raccolgo e ho: $x^2(A+B)-A$ .
Il problema è che io non ho un $x^2$ a numeratore quindi non so a che valore ricondurre A+B ...
$int (x^5+1)/(x^4-x^2)$
1) faccio la divisione e ho: quoziente=$x$ e resto=$1-x^3$
2) mi risulta quindi:$x+(1-x^3)/(x^2(x^2-1))$
3) Ora dovrei fare i fratti giusto? Ma qui sorge il mio problema. infatti eseguendo $A/(x^2)+B/(x^2-1)$ mi viene un risultato strano ovvero: $Ax^2-A+Bx^2$, raccolgo e ho: $x^2(A+B)-A$ .
Il problema è che io non ho un $x^2$ a numeratore quindi non so a che valore ricondurre A+B ...
In teoria avresti dovuto eseguire $(Ax+B)/x^2 + (Cx+D)/(x^2-1)$
Ma puoi evitare questi conti osservando che $(1-x^3)/(x^2(x^2-1))$ può essere semplificato
Ma puoi evitare questi conti osservando che $(1-x^3)/(x^2(x^2-1))$ può essere semplificato
Ecco, potresti cortesemente spiegarmi come applicare la formula che hai scritto li sopra? Perchè non riesco a capirla...!
Comunque, come si semplificherebbe?????
Comunque, come si semplificherebbe?????
La divisione è fatta male: il quoziente è $x$ e il resto $x^3+1$.
Dopo di che il metodo dei fratti semplici va applicato così:
[tex]\displaystyle\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x-1}[/tex]
Infatti il denominatore va scomposto del tutto (tu hai ignorato la differenza di quadrati) e se hai un termine del tipo $(x-x_0)^k$ devi fare
[tex]\displaystyle\frac{A_1}{x-x_0}+\frac{A_2}{(x-x_0)^2}+...+\frac{A_k}{(x-x_0)^k}[/tex]
(in questo caso $k=2,x_0=0$)
Paola
Dopo di che il metodo dei fratti semplici va applicato così:
[tex]\displaystyle\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x+1}+\frac{D}{x-1}[/tex]
Infatti il denominatore va scomposto del tutto (tu hai ignorato la differenza di quadrati) e se hai un termine del tipo $(x-x_0)^k$ devi fare
[tex]\displaystyle\frac{A_1}{x-x_0}+\frac{A_2}{(x-x_0)^2}+...+\frac{A_k}{(x-x_0)^k}[/tex]
(in questo caso $k=2,x_0=0$)
Paola
"pol20":Evito di spiegartelo. L'ha già spiegato in modo eccellente prime number. (io ho saltato il passaggio iniziale e ho raccolto subito)
Ecco, potresti cortesemente spiegarmi come applicare la formula che hai scritto li sopra? Perchè non riesco a capirla...!
"pol20":Hai $(x^3+1)/(x^2(x^2-1))$
Comunque, come si semplificherebbe?
$x^3+1$ è la somma di due cubi che si scompone così: $(x+1)(x^2-x+1)$
$x^2-1$ è la differenza di due quadrati: $(x-1)(x+1)$
quindi puoi semplificare il fattore $(x+1)$
Intanto grazie mille Paola, molto gentile!
Poi veniamo ai problemi, il risultato non coincide con quello del mio prof:
Al mio prof risulta:
$ x^2/2+1/x+ln|x+1|+c$
a me invece risulta:
$x^2/2+1/x+ln|x|+ln|x-1|+ln|x+1|+c$
Eseguendo i passaggi da te descritti mi viene:
$Ax^3-Ax+Bx^2-B+Cx^3+Cx+Dx^3-Dx^2$
Che a sistema diventa:
$\{(A+C+D=1),(B-D=0),(C-A=0),(-B=1):}$
Che risolto mi da:
$A=C=1$ e $B=D=-1$ quindi avrò:
$1/x-1/x^2+1/(x-1)-1/(x+1)$
-------------------------------------------
Infine una delucidazione:
Mettiamo caso che io abbia: $-x^3+1$ a numeratore, se con i fratti mi risulta $x^3(A+B)$........poi quando farò il sistema avrò:
$A+B=-1$ oppure $A+B=1$
Poi veniamo ai problemi, il risultato non coincide con quello del mio prof:
Al mio prof risulta:
$ x^2/2+1/x+ln|x+1|+c$
a me invece risulta:
$x^2/2+1/x+ln|x|+ln|x-1|+ln|x+1|+c$
Eseguendo i passaggi da te descritti mi viene:
$Ax^3-Ax+Bx^2-B+Cx^3+Cx+Dx^3-Dx^2$
Che a sistema diventa:
$\{(A+C+D=1),(B-D=0),(C-A=0),(-B=1):}$
Che risolto mi da:
$A=C=1$ e $B=D=-1$ quindi avrò:
$1/x-1/x^2+1/(x-1)-1/(x+1)$
-------------------------------------------
Infine una delucidazione:
Mettiamo caso che io abbia: $-x^3+1$ a numeratore, se con i fratti mi risulta $x^3(A+B)$........poi quando farò il sistema avrò:
$A+B=-1$ oppure $A+B=1$
"pol20":
Mettiamo caso che io abbia: $-x^3+1$ a numeratore, se con i fratti mi risulta $x^3(A+B)$........poi quando farò il sistema avrò:
$A+B=-1$ oppure $A+B=1$
Devi uguagliare i coefficienti, dunque $A+B=-1$.
Paola
Ok grazie!
E riguardo al risultato ho cannato qualcosa io?
E riguardo al risultato ho cannato qualcosa io?
"pol20":A me viene un po' diverso:
mi viene:
$Ax^3-Ax+Bx^2-B+Cx^3+Cx+Dx^3-Dx^2$
$[Ax(x^2-1)+B(x^2-1)+Cx^2(x-1)+Dx^2(x+1)]/[x^2(x+1)(x-1)]=(x^3+1)/(x^2(x-1)(x+1))$ che diventa $Ax^3-Ax+Bx^2-B+Cx^3-Cx^2+Dx^3+Dx^2=x^3+1$
Vediamo, dovrebbe venire
$\{(A=0),(-B=1),(C+D+A=1),(D-C+B=0):}$
Forse hai fatto male i conti, rifalli.
Paola
$\{(A=0),(-B=1),(C+D+A=1),(D-C+B=0):}$
Forse hai fatto male i conti, rifalli.
Paola
Infatti avevo sbagliato i segni -.-''
Ora viene, grazie mille a tutti
Ora viene, grazie mille a tutti
Dovresti scrivere meglio quel denominatore: la sua decomposizione è [tex]$x^2(x-1)(x+1)$[/tex] per cui devi ricercare i fratti semplici nella forma seguente:
[tex]$\frac{1-x^3}{x^2(x^2-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+1}$[/tex]
[tex]$\frac{1-x^3}{x^2(x^2-1)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x^2}+\frac{C}{x-1}+\frac{D}{x+1}$[/tex]
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