Dubbio su integrale triplo
Devo calcolare il volume della regione di $RR^3$ interna al cilindro $x^2+y^2=1$, compresa tra il paraboloide $z=x^2+y^2-2$ e il piano $x+y+z=3$
Ok, abbastanza semplice.
$\intint_{(x^2+y^2<=1)}^{}int_{x^2+y^2-2}^{3-x-y}1dzdxdy = \intint_{(x^2+y^2<=1)}^{}(x^2+y^2-2)-(3-x-y)dxdy =$
$\intint_{(x^2+y^2<=1)}^{}(x^2+y^2-2-3+x+y)dxdy$
A questo punto nella soluzione però spariscono $x+y$, lasciando l'integrale $\intint_{(x^2+y^2<=1)}^{}x^2+y^2-5dxdy$
Con quale formula si è potuto fare questo?
Poi passando in coordinate polari, il risultato mi torna in fretta. E' abbastanza semplice questo integrale, però mi sfugge con cosa si fa quella semplificazione.
Ok, abbastanza semplice.
$\intint_{(x^2+y^2<=1)}^{}int_{x^2+y^2-2}^{3-x-y}1dzdxdy = \intint_{(x^2+y^2<=1)}^{}(x^2+y^2-2)-(3-x-y)dxdy =$
$\intint_{(x^2+y^2<=1)}^{}(x^2+y^2-2-3+x+y)dxdy$
A questo punto nella soluzione però spariscono $x+y$, lasciando l'integrale $\intint_{(x^2+y^2<=1)}^{}x^2+y^2-5dxdy$
Con quale formula si è potuto fare questo?
Poi passando in coordinate polari, il risultato mi torna in fretta. E' abbastanza semplice questo integrale, però mi sfugge con cosa si fa quella semplificazione.
Risposte
In quale soluzione? Mi sembra molto strano che spariscano quei termini e che il risultato sia giusto lo stesso !
E' da un tema d'esame dove ci sono alcuni passaggi.
Devo calcolare il flusso della superficie totale del cilindro $V={(x,y,z)\inRR^3|x^2+y^2<=1, -2
Ho provato facendo l'integrale in due modi:
$\int\int\int_{V}divFdxdydx=\int\int\int_{V}2z+12y^2+1dxdydz=$
$\int_{-2}^{2}\int\int_{x^2+y^2<=1}(2z+12\rho^2sin^2\theta+1)\rhod\rhod\thetadz=16pi$ ok, è giusto
Questo però è stato il secondo tentativo. Avevo provato ad integrare prima in z e poi trasformare tutto in coordinate polari, ma mi veniva un risultato sbagliato. Perchè? Dovrei poter decidere come voglio io l'ordine di integrazione, no? Intendo dire:
$\int\int_{x^2+y^2<=1}\int_{-2}^{2}2z+12y^2+1dzdxdy$ e mi veniva mi pare $-4pi$ o qualcosa del genere. Ho fatto errori da qualche parte o proprio in questo caso non posso integrare prima in z?
Ho provato facendo l'integrale in due modi:
$\int\int\int_{V}divFdxdydx=\int\int\int_{V}2z+12y^2+1dxdydz=$
$\int_{-2}^{2}\int\int_{x^2+y^2<=1}(2z+12\rho^2sin^2\theta+1)\rhod\rhod\thetadz=16pi$ ok, è giusto
Questo però è stato il secondo tentativo. Avevo provato ad integrare prima in z e poi trasformare tutto in coordinate polari, ma mi veniva un risultato sbagliato. Perchè? Dovrei poter decidere come voglio io l'ordine di integrazione, no? Intendo dire:
$\int\int_{x^2+y^2<=1}\int_{-2}^{2}2z+12y^2+1dzdxdy$ e mi veniva mi pare $-4pi$ o qualcosa del genere. Ho fatto errori da qualche parte o proprio in questo caso non posso integrare prima in z?
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