Dubbio su integrale funzione razionale fratta

[ntb1]

Ciao a tutti, dovendo risolvere questo integrale $ int (x+3)/(x+1)^3 dx $ so che un modo per risolverlo sarebbe quello di scriverlo come $ int (1/(x+1)^2+2/(x+1)^3)dx $ da cui ci sono arrivato col ragionamento, ma dato che ho sempre avuto dubbi su quando si può usare il metodo della scomposizione con A-B-C e quando no, potete dirmi se qui si può applicare ed eventualmente come applicarlo, o nel caso di funzioni più difficili di questa, se c'è un altro modo per poter scrivere questa funzione scomposta senza arrivarci col ragionamento? Grazie

[Camillo]

Una domanda a TeM : come sei sicuro che tutte le frazioni abbiano al numeratore solo una costante e non una forma del tipo $ Fx +K $ ?

[ntb1]

Grazie mille, ora è molto più chiaro; ho soltanto un dubbio: nell'ultimo caso che hai scritto, se avessi un fattore di Q(x) nella forma più generale $ (ax^n+bx+c)^m $ con $ n>2 $ , il procedimento rimarrebbe come l'hai scritto soltanto che al numeratore avrei un polinomio di grado $ n-1 $ ? Quindi nel caso avessi come fattore Q(x): $ (2x^3+x^2+4x+3)^3 $ risulterebbe:
$ (Ax^2+Bx+C)/(2x^3+x^2+4x+3)+(Dx^2+Ex+F)/(2x^3+x^2+4x+3)^2+(Gx^2+Hx+I)/(2x^3+x^2+4x+3)^3 $ ?
Sarebbe lungo da risolvere, però in linea teorica è così che funziona? Oppure in questi casi bisogna seguire un'altra strada?
Grazie ancora.
Buon Natale

[ntb1]

D'accordo, grazie .Se mi trovassi in situazioni del genere e quindi non potendo usare la scomposizione con A-B per motivi di praticità, mi sapresti consigliare qualche altro metodo?

[ntb1]

Ok, grazie mille

[ntb1]

Mi è sorto un altro dubbio: nel caso 1 che hai scritto, con Q(x) = $ (ax+b)^m $ , il metodo risolutivo vale anche nel caso in cui b=0? Quindi se avessi $ (2x)^3 $ magari moltiplicato con qualcos'altro i denominatori sarebbero $ (2x) $ , $ (2x)^2 $ e $ (2x)^3 $ ? Se si, potrei anche risolvere il cubo scrivendo direttamente $ 8x^3 $ e quindi avere come denominatori $ 8x $ , $ 8x^2 $ e $ 8x^3 $ ? Grazie

[ntb1]

Bene, volevo esserne sicuro. Grazie