Dubbio su integrale di linea

[Summerwind78]

Ciao a tutti

vorrei il vostro aiuto per capire se sto svolgendo correttamente questo esercizio


L'esecizio è intitolato "Forze non conservative"

l'ho postato in questa sezione e non in fisica perchè il mio dubbio è l'integrale di linea

ho il campo vettoriale

$vec(F)(r) = a/r e_phi$

con il versore $e_\phi$ in direzione di $phi$ in coordinate cilindriche

1) calcolare l'integrale di linea lungo una circonferenza di raggio $R$ centrata nell'origine
2) calcolare il rotore di $vec(F)(r)$


io ho ragionato così:

a quanto vedo il campo vettoriale ha due componenti nulle ovvero lo vedo come

$vec(F)(r) = 0\cdot e_r + a/r e_phi + 0 \cdot e_z$

l'esercizio non mi dice nulla sulla coordinata $z$ della circonferenza ma presumo che sia pari a zero visto che il campo non ha coordinata $z$

parametrizzo la curva $gamma$ come

$gamma(phi) = ( ( R cos phi ),( R sin phi ),( 0 ) ) \Rightarrow gamma'(phi) = ( ( -R sin phi ),( R cos phi ),( 0 ) )$

con $phi : [0; 2 pi]$

calcolo l'integrale di linea facendo

$W=\int_0^(2 pi) ( ( 0 ),( a/R ),( 0 ) ) \cdot ( ( -R sin phi ),( R cos phi ),( 0 ) ) d phi = a\int_0^(2 pi) cos phi d phi = a (sin 2 pi - sin 0) = 0$

e qui ho il mio dubbio, l'ho calcolato correttamente?
Stando al titolo la forza non dovrebbe essere conservativa pertanto ha senso che l'integrale lungo una linea chiusa sia nulla?
Credo che teoricamente sia possibile, nel caso invece la forza sia conservativa allora è sempre nullo.

dico bene?

poi calcolo il rotore, ovviamente in coordinate cilindriche

ovvero

$nabla \times vec(F)(r) = (1/r (partial F_z)/(partial phi) - (partial F_phi)/(partial z)) e_r + ((partial F_r)/(partial z) - (partial F_z)/(partial r))e_phi + 1/r ( (partial (r F_phi))/(partial r) - (partial F_r)/(partial phi) ) e_z$

che nel mio caso diventa

$= (1/r \cdot 0) e_r + (0)e_phi + 1/r ( (partial (r a/r))/(partial r) - (0)/(partial phi) ) e_z = (0) e_r + (0)e_phi + 1/r (0 ) e_z = 0$

è giusto?

l'esercizio mi dice di spiegare perchè il risulato del primo punto è in contraddizione con quello del secondo punto

Sapreste darmi una dritta?


grazie mille

[Quinzio]

Per l'integrale di linea: occhio...
Quello che hai fatto è uno scalare tra "mele e pere". Le mela è il campo vettoriale in coordinate cilindriche, la pera è la curva parametrizzata in coordinate cartesiane.
Devi essere coerente quindi vanno espresse tutte e due nelle stesse coordinate.

[Summerwind78]

aspetta...

non mi dire che la parametrizzazione della curva $gamma$ in coordinate cilindriche è

$gamma = ((R), (phi), (0))$ ?

se fosse così mi sentirei un salame