Dubbio su integrale a due dimensioni
Il problema con questo esercizio è che non so come dimostrare l'indicazione dell'esercizio... 
Sia \( R = [\alpha, \beta] \times [\gamma,\delta] \) un rettangolo che possiamo scrivere come l'unione disgiunta di più piccoli rettangoli \(R_1,\ldots,R_n\), aventi la proprietà che ciascuno dei \( R_i \) rettangoli possiede almeno un lato di lunghezza intera. Dimostra che \(R \) possiede almeno un lato di lunghezza intera.
Indicazione: dimostra che
\[ \int_{\alpha}^{\beta}
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx= \sum\limits_{i=1}^{n}\int_{\alpha_i}^{\beta_i}
\int_{\gamma_i}^{\delta_i} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx \]
Dimostrazione:
\[ \int_{a}^{b} e^{2i \pi x } dx =0 \] se e solo se \( a-b \) è un intero. Vi risparmio i passaggi ma mi ritrovo con
\[ \int_{a}^{b} e^{2i \pi x } dx = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix}
\sin\begin{pmatrix}
\pi(b-a)
\end{pmatrix}\cos\begin{pmatrix}
\pi(b+a)
\end{pmatrix}
\end{bmatrix} - \frac{i}{\pi}\begin{bmatrix}
\sin\begin{pmatrix}
\pi(b-a)
\end{pmatrix}\sin\begin{pmatrix}
\pi(b+a)
\end{pmatrix}
\end{bmatrix} \]
E in quanto il seno ed il coseno non si possono annullare allo stesso tempo abbiamo che l'integrale è zero se e solo se \( b-a \) è un intero.
Abbiamo inoltre che
\[ \int_{\alpha}^{\beta}
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx=\int_{\alpha}^{\beta}
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi x } e^{2i \pi y}dy
dx = \int_{\alpha}^{\beta} e^{2i \pi x } dx
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi y}dy
\]
Dunque chiaramente se
\[ \int_{\alpha}^{\beta}
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx= \sum\limits_{i=1}^{n}\int_{\alpha_i}^{\beta_i}
\int_{\gamma_i}^{\delta_i} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx = 0 \] allora abbiamo finito e il nostro rettangolo \( R \) possiede almeno un lato di lunghezza intera.
Il problema è che non so come mostrare che sia vera l'indicazione, consigli??
Sia \( R = [\alpha, \beta] \times [\gamma,\delta] \) un rettangolo che possiamo scrivere come l'unione disgiunta di più piccoli rettangoli \(R_1,\ldots,R_n\), aventi la proprietà che ciascuno dei \( R_i \) rettangoli possiede almeno un lato di lunghezza intera. Dimostra che \(R \) possiede almeno un lato di lunghezza intera.
Indicazione: dimostra che
\[ \int_{\alpha}^{\beta}
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx= \sum\limits_{i=1}^{n}\int_{\alpha_i}^{\beta_i}
\int_{\gamma_i}^{\delta_i} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx \]
Dimostrazione:
\[ \int_{a}^{b} e^{2i \pi x } dx =0 \] se e solo se \( a-b \) è un intero. Vi risparmio i passaggi ma mi ritrovo con
\[ \int_{a}^{b} e^{2i \pi x } dx = \frac{1}{\pi} \begin{bmatrix}
\sin\begin{pmatrix}
\pi(b-a)
\end{pmatrix}\cos\begin{pmatrix}
\pi(b+a)
\end{pmatrix}
\end{bmatrix} - \frac{i}{\pi}\begin{bmatrix}
\sin\begin{pmatrix}
\pi(b-a)
\end{pmatrix}\sin\begin{pmatrix}
\pi(b+a)
\end{pmatrix}
\end{bmatrix} \]
E in quanto il seno ed il coseno non si possono annullare allo stesso tempo abbiamo che l'integrale è zero se e solo se \( b-a \) è un intero.
Abbiamo inoltre che
\[ \int_{\alpha}^{\beta}
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx=\int_{\alpha}^{\beta}
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi x } e^{2i \pi y}dy
dx = \int_{\alpha}^{\beta} e^{2i \pi x } dx
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi y}dy
\]
Dunque chiaramente se
\[ \int_{\alpha}^{\beta}
\int_{\gamma}^{\delta} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx= \sum\limits_{i=1}^{n}\int_{\alpha_i}^{\beta_i}
\int_{\gamma_i}^{\delta_i} e^{2i \pi (x+y) } dy
dx = 0 \] allora abbiamo finito e il nostro rettangolo \( R \) possiede almeno un lato di lunghezza intera.
Il problema è che non so come mostrare che sia vera l'indicazione, consigli??
Risposte
Forse mi sfugge qualcosa, ma la seguente non è una proprietà generale degli integrali?
$\int_D f(x)dx=\int_A f(x)dx + \int_B f(x)dx$
con $D=A\cup B$ e $A\cap B=\emptyset$.[nota]O comunque un insieme di misura nulla.[/nota]
$\int_D f(x)dx=\int_A f(x)dx + \int_B f(x)dx$
con $D=A\cup B$ e $A\cap B=\emptyset$.[nota]O comunque un insieme di misura nulla.[/nota]
"3m0o":
Il problema con questo esercizio è che non so come dimostrare l'indicazione dell'esercizio...
Sia \( R = [\alpha, \beta] \times [\gamma,\delta] \) un rettangolo che possiamo scrivere come l'unione disgiunta di più piccoli rettangoli \(R_1,\ldots,R_n\), aventi la proprietà che ciascuno dei \( R_i \) rettangoli possiede almeno un lato di lunghezza intera. Dimostra che \(R \) possiede almeno un lato di lunghezza intera.
Questo è un esercizio del primo anno? Frequenti proprio una buona università.
[ot]Non vale! Questo è un problema che avevo intenzione di postare nella sezione "Giochi matematici" 
[/ot]
Cordialmente, Alex
[/ot]Cordialmente, Alex
"Platone":
Forse mi sfugge qualcosa, ma la seguente non è una proprietà generale degli integrali?
$\int_D f(x)dx=\int_A f(x)dx + \int_B f(x)dx$
con $D=A\cup B$ e $A\cap B=\emptyset$.[nota]O comunque un insieme di misura nulla.[/nota]
È quello che pensavo anche io, però l'assistente mi ha detto che non è così scontato se integro sia su " \( dx \) " che su " \( dy \)", e che bisogna giustificarlo in modo preciso, e volevo chiedere delucidazioni in merito! Anche a me sfugge il perché non dovrebbe essere più valida questa proprietà a più "dimensioni".
"dissonance":
Questo è un esercizio del primo anno? Frequenti proprio una buona università.
Non capisco se sei ironico perché troppo facile l'esercizio
"3m0o":
[quote="Platone"]Forse mi sfugge qualcosa, ma la seguente non è una proprietà generale degli integrali?
$\int_D f(x)dx=\int_A f(x)dx + \int_B f(x)dx$
con $D=A\cup B$ e $A\cap B=\emptyset$.[nota]O comunque un insieme di misura nulla.[/nota]
È quello che pensavo anche io, però l'assistente mi ha detto che non è così scontato se integro sia su " \( dx \) " che su " \( dy \)", e che bisogna giustificarlo in modo preciso, e volevo chiedere delucidazioni in merito! Anche a me sfugge il perché non dovrebbe essere più valida questa proprietà a più "dimensioni".
"dissonance":
Questo è un esercizio del primo anno? Frequenti proprio una buona università.
Non capisco se sei ironico perché troppo facile l'esercizio
[/quote]
"anti-spells":
Ma a dire il vero non abbiamo visto gli integrali doppi...
Non sono affatto ironico! Dico davvero. Mi piace molto questo esercizio e io non sarei mai stato capace di risolverlo al primo anno.
"3m0o":
È quello che pensavo anche io, però l'assistente mi ha detto che non è così scontato se integro sia su " dx " che su " dy", e che bisogna giustificarlo in modo preciso, e volevo chiedere delucidazioni in merito! Anche a me sfugge il perché non dovrebbe essere più valida questa proprietà a più "dimensioni".
"3m0o":
Ma a dire il vero non abbiamo visto gli integrali doppi...
Qualcosa non mi torna..
"dissonance":
Non sono affatto ironico! Dico davvero. Mi piace molto questo esercizio e io non sarei mai stato capace di risolverlo al primo anno.
Molto bello si! Beh non che io ci sarei arrivato senza l'indicazione.
"Platone":
Qualcosa non mi torna..
Eh... a corso non abbiamo mai visto gli integrali doppi, poi se negli esercizi ci sono, non chiedermi il perché
@3m0o
Cordialmente, Alex
Cordialmente, Alex
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