Dubbio su integrale
ragazzi mi è venuto un dubbio su questo integrale..
$int sqrt[x/(1-x)$
non sapendo come muovermi ho posto $x/(1-x)$ quindi trasformando l'integrale in
$int sqrtx$ $1/(1-x)^2$
qui ho posto ho posto $sqrtx=t$ trasformando l'integrale in
$2int t^2/((1-t^2)^2$
nel caso andasse bene come lo trasformo in fratti?.. all interno del quadrato ci sta una somma per differenza..
$int sqrt[x/(1-x)$
non sapendo come muovermi ho posto $x/(1-x)$ quindi trasformando l'integrale in
$int sqrtx$ $1/(1-x)^2$
qui ho posto ho posto $sqrtx=t$ trasformando l'integrale in
$2int t^2/((1-t^2)^2$
nel caso andasse bene come lo trasformo in fratti?.. all interno del quadrato ci sta una somma per differenza..
Risposte
Io opterei per questo procedimento, naturalmente ognuno è a se stante.
Tanto ne arriverà più di uno.
Intanto il dominio dell'integranda è $0leqx<1$ e comincerei ponendo $x=t^2,tin[0,1)$ e $dx=2tdt$ questo per togliere subito subito la radice a numeratore.
nota che a numeratore avremmo $sqrt(t^2)=|t|$ ma abbiamo scelto $tin[0,1)$ dunque $|t|=t$
$intt/sqrt(1-t^2)*(2t)dt=-intt(-2t)(1-t^2)^(-1/2)dt$
bella pronta e servita una bella integrazione per parti.
$-[t*(1-t^2)^(-1/2+1)/(-1/2+1)-int(1-t^2)^(-1/2+1)/(-1/2+1)dt]$
$2intsqrt(1-t^2)dt-2tsqrt(1-t^2)$
ora mi concentro sulla prima parte, anche se è un integrale abbastanza frequente.
pongo $t=sinu <=> dt=du(cosu)$ nota che $tin[0,1) => uin[0,pi/2)$
$intsqrt(1-sin^2u)(cosu)du=int|cosu|(cosu)du$
ora $cosu$ è positivo o nullo su $[0,pi/2)$ dunque $|cosu|=cosu$
il tutto si riduce a $intcos^2udu$ usando una identità goniometrica $cos^2u=(1+cos(2u))/2$ mi riconduco a una forma più semplice di integrale(anche se si potrebbe integrare in altri modi, ma questo è il più sbrigativo).
$int(1+cos(2u))/2du=u/2+sin(2u)/4=(sin(u)cos(u)+u)/2$
ora ricordando che $sinu=t <=> u=arcsint$ e che $t=sqrtx$ ci ricaviamo:
$u=arcsin(sqrtx)$
ricomponendo l'integrale otteniamo $2*(sin(u)cos(u)+u)/2-2sqrtxsqrt(1-x)+c$
$sin(arcsin(sqrtx))sqrt(1-(sin(arcsin(sqrtx)))^2)+arcsin(sqrtx)-2sqrt(x-x^2)+c$
$sqrt(x)sqrt(1-x)+arcsin(sqrtx)-2sqrt(x-x^2)+c$
dopo tutti 'sti passaggi la soluzione è:
Tanto ne arriverà più di uno.
Intanto il dominio dell'integranda è $0leqx<1$ e comincerei ponendo $x=t^2,tin[0,1)$ e $dx=2tdt$ questo per togliere subito subito la radice a numeratore.
nota che a numeratore avremmo $sqrt(t^2)=|t|$ ma abbiamo scelto $tin[0,1)$ dunque $|t|=t$
$intt/sqrt(1-t^2)*(2t)dt=-intt(-2t)(1-t^2)^(-1/2)dt$
bella pronta e servita una bella integrazione per parti.
$-[t*(1-t^2)^(-1/2+1)/(-1/2+1)-int(1-t^2)^(-1/2+1)/(-1/2+1)dt]$
$2intsqrt(1-t^2)dt-2tsqrt(1-t^2)$
ora mi concentro sulla prima parte, anche se è un integrale abbastanza frequente.
pongo $t=sinu <=> dt=du(cosu)$ nota che $tin[0,1) => uin[0,pi/2)$
$intsqrt(1-sin^2u)(cosu)du=int|cosu|(cosu)du$
ora $cosu$ è positivo o nullo su $[0,pi/2)$ dunque $|cosu|=cosu$
il tutto si riduce a $intcos^2udu$ usando una identità goniometrica $cos^2u=(1+cos(2u))/2$ mi riconduco a una forma più semplice di integrale(anche se si potrebbe integrare in altri modi, ma questo è il più sbrigativo).
$int(1+cos(2u))/2du=u/2+sin(2u)/4=(sin(u)cos(u)+u)/2$
ora ricordando che $sinu=t <=> u=arcsint$ e che $t=sqrtx$ ci ricaviamo:
$u=arcsin(sqrtx)$
ricomponendo l'integrale otteniamo $2*(sin(u)cos(u)+u)/2-2sqrtxsqrt(1-x)+c$
$sin(arcsin(sqrtx))sqrt(1-(sin(arcsin(sqrtx)))^2)+arcsin(sqrtx)-2sqrt(x-x^2)+c$
$sqrt(x)sqrt(1-x)+arcsin(sqrtx)-2sqrt(x-x^2)+c$
dopo tutti 'sti passaggi la soluzione è:
$intsqrt(x/(1-x))dx=arcsin(sqrtx)-sqrt(x-x^2)+c,x in[0,1)$
$ int sqrt(x/(1-x))dx $ adesso chiama $ t=x/(1-x) $ quindi $ 1/t=(1-x)/x $ ovvero $ x=t/(1+t) $ calcola il differenziale ovvero $ 1/(1+t)^2 $ , il tuo integrale diventa della forma $ int sqrt(t) *1/(1+t)^2dt $ chiama $ sqrt(t)=w $ e applicando di nuovo l'integrale per sostituzione ottieni $ int 2w^2/(1+w^2)^2dw $ , adesso applica l'integrazione per parti considerando come fattore finito $ w $ e come fattore differenziale $ 2w/(1+w^2)^2 $ ottenendo cosi $ -w/(1+w^2)+int 1/(1+w^2)dw $ ovvero $ -w/(1+w^2)+arcotg(w) + c $ . Spero di esserti stato d'aiuto e di aver svolto bene i conti, se vuoi puoi scrivere la funzione tutta in funzione di x effettuando una sostituzione.
Grazie mille
Si può fare anche in questo modo, senza perdersi in molteplici sostituzioni:
$$ \sin^2(t) = x \implies dx = 2 \sin(t)\cos(t) \ dt$$
Quindi:
$$ \int \sqrt{\frac{x}{1-x}} \ dx = \int \frac{\sin (t)}{\sqrt{1 - \sin^2(t)}} 2 \sin(t) \cos(t) \ dt = 2 \int \sin^2 (t) \ dt$$
L'integrale di $\sin^2(t)$ è un classico, non mi metto a scrivere tutti i passaggi. Il risultato è:
$$ 2 \int \sin^2 (t) \ dt = t - \sin(t) \cos(t) + k = \arcsin \left({\sqrt{x}} \right) - \sqrt{x}\sqrt{1 - x} + k$$
$$ \sin^2(t) = x \implies dx = 2 \sin(t)\cos(t) \ dt$$
Quindi:
$$ \int \sqrt{\frac{x}{1-x}} \ dx = \int \frac{\sin (t)}{\sqrt{1 - \sin^2(t)}} 2 \sin(t) \cos(t) \ dt = 2 \int \sin^2 (t) \ dt$$
L'integrale di $\sin^2(t)$ è un classico, non mi metto a scrivere tutti i passaggi. Il risultato è:
$$ 2 \int \sin^2 (t) \ dt = t - \sin(t) \cos(t) + k = \arcsin \left({\sqrt{x}} \right) - \sqrt{x}\sqrt{1 - x} + k$$
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