Dubbio su integrabilità in L1

[bags1]

ciao a tutti
qualcuno potrebbe spiegarmi perchè se il limite esiste finito e non è 0 la funzione non è L1? sento che c'è qualcosa di estremamente banale che mi sfugge



grazie!

[david_e1]

Consideriamo il caso:

$ lim_{x -> +oo} f(x) = L > 0 $

Per gli altri casi ($L$ negativo $x->-oo$ o $L$ non finito) il ragionamento e' analogo.

Mostriamo che $f$ non e' $L^1$. Senza perdita' di generalita' supporremo $f(x)>0$ (rigordiamo che l'integrabilita' in $L^1$ e' in modulo!).

$ \forall \epsilon \quad \exists M : \quad |L-f(x)|<\epsilon \quad \forall x > M $ (definizione di limite)

Ora:

$ int_RR f(t) dt \geq \int_M^{R} f(t) dt \geq | (M, R) | min_{x \in (M,R)} f(x) \geq | (M,R) | (L - \epsilon) $ ( $|I|$ e' la misura di Lebesgue di $I$ )

Inoltre:

$ lim_{R -> oo} | (M,R) | (L - \epsilon) = oo$

Quindi l'integrale diverge sicuramente.

[david_e1]

PS: Ci vorrebbe l'inf al posto del min, ma con MathML non so' fare l'inf...............