Dubbio su insieme massimale di definizione soluzioni equazione differenziale
Chiedo scusa per il titolo telegrafico, ma volevo essere dettagliato senza occupare due righe, cosa che probabilmente accadrà comunque. Se devo modificarlo, ditemelo e provvedo.
Ah, e farò un po' di blabla lungo tutto il problema per giustificare le mie conclusioni. Se in mezzo dovesse scapparci una matebestemmia avvertitemi, vorrei essere rigoroso per lo scritto di Anal-isi II
Allora, in breve, devo trovare gli insiemi massimali di definizione delle soluzioni del seguente, semplicissimo, problema di Cauchy:
\( \begin{cases}
y'(x)=y^2-4\\
y(x_0)=y_0\end{cases} \)
È un'equazione differenziale a variabili separabili. Ponendo \(y'(x)=0\) troviamo le due soluzioni stazionarie \(y(x) =\pm2\), mentre un integrale in \(y\) talmente semplice che lo so fare persino io, ci porta alla seguente soluzione esplicita:
\(y(x)=2\dfrac{1+\dfrac{y_0-2}{y_0+2}e^{4\left(x-x_0\right)}}{1-\dfrac{y_0-2}{y_0+2}e^{4\left(x-x_0\right)}}=2\dfrac{1+c_0e^{4\left(x-x_0\right)}}{1-c_0e^{4\left(x-x_0\right)}},\quad c_0\equiv\dfrac{y_0-2}{y_0+2}\)
Ora bisogna vedere dove queste soluzioni esistono, ossia l'intervallo massimale di esistenza delle stesse.
Dato che \(y'(x)\) è definita in \(\mathbb{R}^2\) ed è ivi di classe \(\mathcal{C}^1\), il teorema di esistenza e unicità locale ci dice che per ogni \(\left(x_0,y_0\right)\in\mathbb{R}^2\), dato dalle condizioni iniziali, esiste una e una sola soluzione \(y(x)\) che vi passa: le soluzioni non si intersecano mai.
Quindi, in particolare, le due soluzioni stazionarie, definite su tutto l'asse reale, ci dividono il piano in tre parti che troveremo dare risultati diversi.
Torniamo a noi: per avere gli intervalli massimali altro non dobbiamo fare che fare il campo di esistenza di \(y(x)\). Per \(y_0\ne\pm2\), esso equivale ad evitare che il denominatore si annulli.
\(1-c_0e^{4\left(x-x_0\right)}\ne0\Rightarrow1\ne c_0e^{4\left(x-x_0\right)}\Rightarrow e^{4\left(x-x_0\right)}\ne\dfrac{1}{c_0}\)
Ora, l'esponenziale è chiaramente sempre maggiore di zero. Perciò, se il secondo termine è minore di zero, siamo in una botte di ferro per tutto l'asse reale.
\(\dfrac{1}{c_0}<0\Rightarrow\dfrac{y_0+2}{y_0-2}<0\Rightarrow-2
Quello che abbiamo osservato è che nella fascia centrale le soluzioni partono da \(-\infty\) e arrivano a \(+\infty\). In termini più ortodossi, si estendono per tutto l'asse reale: il loro insieme massimale di definizione è \((-\infty,+\infty)\), o \(\mathbb{R}\). Più massimale di così!
Se invece anche \(1/c_0\) è positivo, non abbiamo niente di ovvio: dobbiamo controllare per quali dati iniziali è diverso dall'esponenziale.
\(e^{4\left(x-x_0\right)}\ne\dfrac{1}{c_0}\Rightarrow4\left(x-x_0\right)\ne\ln\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)\Rightarrow x\ne\dfrac{1}{4}\ln\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)+x_0\equiv\alpha\)
L'intervallo massimale è il più grande intervallo contenente \(x_0\) in cui le soluzioni esistono. Se \(x_0<\alpha\), esso è \((-\infty,\alpha)\). Se \(x_0>\alpha\), esso è \((\alpha,+\infty)\).
Ora, studiando il primo caso, otteniamo
\(x_0<\dfrac{1}{4}\ln\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)+x_0\Rightarrow\ln\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)>0\Rightarrow\ln\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)>0\Rightarrow\dfrac{y_0+2}{y_0-2}>1\Rightarrow y_0>2\)
Cioè, nel pezzo sopra ogni soluzione è delimitata a destra dalla retta verticale \(x=\alpha\). Oltre lì, non passa. C'è Gandalf.
Studiando il secondo, e qui giunge il mio dubbio, la soluzione del libro riporta semplicemente \(y_0<-2\), cioè la fascia sotto. Invece, eseguendo gli stessi calcoli di sopra, dato che l'unica differenza è il segno della disequazione, mi viene \(y_0<2\). Questo vuol dire che si dovrebbero interrompere a sinistra alla retta retta verticale \(x=\alpha\) anche nella fascia di mezzo dove abbiamo visto che non hanno problemi da nessuna parte.
Ora, sono d'accordo che lì abbiamo già visto che si estendono per tutto l'asse reale, e ci rimangono solo i due pezzi esterni, ma possiamo ignorare bellamente il risultato che otteniamo così? A me sembrano due risultati contradditori, anche perché \(\alpha\rightarrow-\infty\) solo per \(y_0\rightarrow-2\). Vorrei sapere quale ragionamento rigoroso ci porta ad andare automaticamente e direttamente sotto \(-2\).
Parole (pardon, formule) testuali, sul libro c'è scritto
\(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}<1\iff y_0<-2\)
Senza una sola parola come nota, come se fosse la cosa più ovvia del mondo. Chiaro che se all'esame dico "tra \(2\) e \(-2\) l'ho già studiato, quindi me ne sbatto", vengo sbattuto fuori, com'è giusto e doveroso. Quindi, la mia domanda è: quale ovvietà mi sto perdendo?
Tutto 'sto papiello per queste due righe di domanda? Scusate la prosopopea, in realtà volevo anche controllare che tutte le boiate che dico siano giuste.
Ah, e farò un po' di blabla lungo tutto il problema per giustificare le mie conclusioni. Se in mezzo dovesse scapparci una matebestemmia avvertitemi, vorrei essere rigoroso per lo scritto di Anal-isi II
Allora, in breve, devo trovare gli insiemi massimali di definizione delle soluzioni del seguente, semplicissimo, problema di Cauchy:
\( \begin{cases}
y'(x)=y^2-4\\
y(x_0)=y_0\end{cases} \)
È un'equazione differenziale a variabili separabili. Ponendo \(y'(x)=0\) troviamo le due soluzioni stazionarie \(y(x) =\pm2\), mentre un integrale in \(y\) talmente semplice che lo so fare persino io, ci porta alla seguente soluzione esplicita:
\(y(x)=2\dfrac{1+\dfrac{y_0-2}{y_0+2}e^{4\left(x-x_0\right)}}{1-\dfrac{y_0-2}{y_0+2}e^{4\left(x-x_0\right)}}=2\dfrac{1+c_0e^{4\left(x-x_0\right)}}{1-c_0e^{4\left(x-x_0\right)}},\quad c_0\equiv\dfrac{y_0-2}{y_0+2}\)
Ora bisogna vedere dove queste soluzioni esistono, ossia l'intervallo massimale di esistenza delle stesse.
Dato che \(y'(x)\) è definita in \(\mathbb{R}^2\) ed è ivi di classe \(\mathcal{C}^1\), il teorema di esistenza e unicità locale ci dice che per ogni \(\left(x_0,y_0\right)\in\mathbb{R}^2\), dato dalle condizioni iniziali, esiste una e una sola soluzione \(y(x)\) che vi passa: le soluzioni non si intersecano mai.
Quindi, in particolare, le due soluzioni stazionarie, definite su tutto l'asse reale, ci dividono il piano in tre parti che troveremo dare risultati diversi.
Torniamo a noi: per avere gli intervalli massimali altro non dobbiamo fare che fare il campo di esistenza di \(y(x)\). Per \(y_0\ne\pm2\), esso equivale ad evitare che il denominatore si annulli.
\(1-c_0e^{4\left(x-x_0\right)}\ne0\Rightarrow1\ne c_0e^{4\left(x-x_0\right)}\Rightarrow e^{4\left(x-x_0\right)}\ne\dfrac{1}{c_0}\)
Ora, l'esponenziale è chiaramente sempre maggiore di zero. Perciò, se il secondo termine è minore di zero, siamo in una botte di ferro per tutto l'asse reale.
\(\dfrac{1}{c_0}<0\Rightarrow\dfrac{y_0+2}{y_0-2}<0\Rightarrow-2
Quello che abbiamo osservato è che nella fascia centrale le soluzioni partono da \(-\infty\) e arrivano a \(+\infty\). In termini più ortodossi, si estendono per tutto l'asse reale: il loro insieme massimale di definizione è \((-\infty,+\infty)\), o \(\mathbb{R}\). Più massimale di così!
Se invece anche \(1/c_0\) è positivo, non abbiamo niente di ovvio: dobbiamo controllare per quali dati iniziali è diverso dall'esponenziale.
\(e^{4\left(x-x_0\right)}\ne\dfrac{1}{c_0}\Rightarrow4\left(x-x_0\right)\ne\ln\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)\Rightarrow x\ne\dfrac{1}{4}\ln\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)+x_0\equiv\alpha\)
L'intervallo massimale è il più grande intervallo contenente \(x_0\) in cui le soluzioni esistono. Se \(x_0<\alpha\), esso è \((-\infty,\alpha)\). Se \(x_0>\alpha\), esso è \((\alpha,+\infty)\).
Ora, studiando il primo caso, otteniamo
\(x_0<\dfrac{1}{4}\ln\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)+x_0\Rightarrow\ln\dfrac{1}{4}\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)>0\Rightarrow\ln\left(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}\right)>0\Rightarrow\dfrac{y_0+2}{y_0-2}>1\Rightarrow y_0>2\)
Cioè, nel pezzo sopra ogni soluzione è delimitata a destra dalla retta verticale \(x=\alpha\). Oltre lì, non passa. C'è Gandalf.
Studiando il secondo, e qui giunge il mio dubbio, la soluzione del libro riporta semplicemente \(y_0<-2\), cioè la fascia sotto. Invece, eseguendo gli stessi calcoli di sopra, dato che l'unica differenza è il segno della disequazione, mi viene \(y_0<2\). Questo vuol dire che si dovrebbero interrompere a sinistra alla retta retta verticale \(x=\alpha\) anche nella fascia di mezzo dove abbiamo visto che non hanno problemi da nessuna parte.
Ora, sono d'accordo che lì abbiamo già visto che si estendono per tutto l'asse reale, e ci rimangono solo i due pezzi esterni, ma possiamo ignorare bellamente il risultato che otteniamo così? A me sembrano due risultati contradditori, anche perché \(\alpha\rightarrow-\infty\) solo per \(y_0\rightarrow-2\). Vorrei sapere quale ragionamento rigoroso ci porta ad andare automaticamente e direttamente sotto \(-2\).
Parole (pardon, formule) testuali, sul libro c'è scritto
\(\dfrac{y_0+2}{y_0-2}<1\iff y_0<-2\)
Senza una sola parola come nota, come se fosse la cosa più ovvia del mondo. Chiaro che se all'esame dico "tra \(2\) e \(-2\) l'ho già studiato, quindi me ne sbatto", vengo sbattuto fuori, com'è giusto e doveroso. Quindi, la mia domanda è: quale ovvietà mi sto perdendo?
Tutto 'sto papiello per queste due righe di domanda? Scusate la prosopopea, in realtà volevo anche controllare che tutte le boiate che dico siano giuste.
Risposte
allora,premesso che a me risulta che la soluzione si possa scrivere nella forma $x=1/4ln|(y-2)/(y+2)|+x_0-1/4ln|(y_0-2)/(y_0+2)|$,cominciamo col chiamare $alpha$ la costante al secondo membro
$|(y_0-2)/(y_0+2)|>1$ per $y_0<0$
quindi
1) $y_0>2$
$alpha>x_0$
la soluzione massimale è definita in $(-infty,alpha)$
2)$y_0<-2$
$alpha
$|(y_0-2)/(y_0+2)|>1$ per $y_0<0$
quindi
1) $y_0>2$
$alpha>x_0$
la soluzione massimale è definita in $(-infty,alpha)$
2)$y_0<-2$
$alpha
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