Dubbio su induzione: $a^n>n$

Paolo902
Dimostrare che se $a>1$, si ha $a^n>n$, $forall n in NN$.

Al di là della evidentissima interpretazione grafica di questo fatto quasi banale, come si può dimostrare la disuguaglianza per induzione?

E' ovvio che $P(0)$ è vera: $1>0$.
Ora, come faccio a far vedere che $P(n)=>P(n+1)$?
$a^(n+1)=a^n*a$. Per l'hp induttiva $a^n*a>na>n$ perchè $a>1$. Ma come faccio a far saltare fuori l'$1$ che mi serve a secondo membro? Grazie e scusate se mi sto perdendo in un bicchier d'acqua...

Risposte
Fioravante Patrone1
Il fatto sarà "quasi banale", ma più propriamente è... falso :P
Ehm, provato a fare $(1.00000000000000000000000000000001)^3$ ?
Ti sembra a occhio che sia più grosso di 3?


PS: talvolta, quando non "viene" la dimostrazione di un teorema, è perché il teorema è falso. E tu hai colto per l'appunto che il passo induttivo sembra non fungere. Non a caso.

Oppure potrebbe essere giusta l'interpretazione postata da Injo (che non so perché ha cancellato il suo post). Ovvero che $a \in NN$. Io avevo (sbagliando?) assunto che $a$ fosse un numero reale.

Injo
Beh, se $a$ fosse naturale invece che reale sarebbe vera in quanto $na > n+1$ se $a>1$. Ma non è specificato :P

Fioravante Patrone1
Ecco perché era sparito il tuo post! :lol:

Injo
L'ho riformulato perchè avevamo postato insieme :P

Paolo902
Dunque, anzitutto grazie ad entrambi.
Ho avuto la mia prima conferma. Non a caso non ho scritto l'insieme di appartenenza di $a$, proprio perchè volevo sentire i vostri pareri.
Ok, Injo, ho capito quello che dici nel caso $a$ naturale. Giustissimo, che stupido sono stato a non averci pensato prima.

Il problema, in realtà è più grosso di quel che sembra, a questo punto. Tutto nasce da qui:

"Il mio libro di Analisi":
Sia $f(x)=a^x$, $a>0, a ne 1$. Dimostrare che $"inf" f = 0$


La soluzione guidata dell'es dice: limitiamoci a $a>1$ (neanche lui dice se $RR$ o $NN$, ma vista la richiesta su $f(x)$ credo proprio in $RR$: anche perchè più avanti nel testo parla esplicitamente di $RR$, come vedrete; e poi, perchè scrivere $a>0$ e precisare diverso da $1$? Se $a$ fosse naturale, basta dire $a>1$). Poi, giustamente fa vedere che $0$ è minorante, e fin qui ok.
Poi, per mostrare che $0$ è l'inf, ovviamente dice: dobbiamo mostrare $forall epsilon>0, exists bar x in RR " tale che " a^(bar x)
"si può dimostrare per induzione che vale la seguente disuguaglianza: $a^-n<1/n$, $forall n in NN_0$ (escluso lo $0$).

Se non sono totalmente rimbambito, questa disuguaglianza è equivalente a quella di partenza, basta solo prenderne gli inversi.

Ora potete umiliarmi, grazie.
Scusate.

Paolo

Fioravante Patrone1
In effetti, 1 fratto la radice quadrata del numero a che suggerivo non mi sembra che sia più piccolo di 2...

Beh, non sarà la prima volta che trovi un errore su un libro :wink:

Paolo902
"Fioravante Patrone":
In effetti, 1 fratto la radice quadrata del numero a che suggerivo non mi sembra che sia più piccolo di 2...

Beh, non sarà la prima volta che trovi un errore su un libro :wink:



uuuuuuuuuuu, che sollievo, Fioravante! :D :D :D :D :D
Già pensavo di dovermi andare a nascondere perchè pensavo di aver detto un sacco di scemenze!

Ok, sto meglio.
Però, a questo punto, come si conclude che $"inf" f=0$ anche se $0 GRAZIE.

gugo82
Beh, basta tenere presente che la disuguaglianza $a^n>n$ è vera per $n$ sufficientemente grande... Però se devo essere sincero, non vedo perchè tirare in ballo questa disuguaglianza "difficile" per una dimostrazione così immediata.

Voglio dire, per provare che $0="inf" \{ a^x,\ x\in RR \}$ occorre e basta far vedere che $AA epsilon >0,\ exists \bar(x)\in RR:\ a^\bar(x)

Paolo902
Grazie mille, Gugo. Ho capito. Grazie ancora.

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