Dubbio su induzione: $a^n>n$
Dimostrare che se $a>1$, si ha $a^n>n$, $forall n in NN$.
Al di là della evidentissima interpretazione grafica di questo fatto quasi banale, come si può dimostrare la disuguaglianza per induzione?
E' ovvio che $P(0)$ è vera: $1>0$.
Ora, come faccio a far vedere che $P(n)=>P(n+1)$?
$a^(n+1)=a^n*a$. Per l'hp induttiva $a^n*a>na>n$ perchè $a>1$. Ma come faccio a far saltare fuori l'$1$ che mi serve a secondo membro? Grazie e scusate se mi sto perdendo in un bicchier d'acqua...
Al di là della evidentissima interpretazione grafica di questo fatto quasi banale, come si può dimostrare la disuguaglianza per induzione?
E' ovvio che $P(0)$ è vera: $1>0$.
Ora, come faccio a far vedere che $P(n)=>P(n+1)$?
$a^(n+1)=a^n*a$. Per l'hp induttiva $a^n*a>na>n$ perchè $a>1$. Ma come faccio a far saltare fuori l'$1$ che mi serve a secondo membro? Grazie e scusate se mi sto perdendo in un bicchier d'acqua...
Risposte
Il fatto sarà "quasi banale", ma più propriamente è... falso
Ehm, provato a fare $(1.00000000000000000000000000000001)^3$ ?
Ti sembra a occhio che sia più grosso di 3?
PS: talvolta, quando non "viene" la dimostrazione di un teorema, è perché il teorema è falso. E tu hai colto per l'appunto che il passo induttivo sembra non fungere. Non a caso.
Oppure potrebbe essere giusta l'interpretazione postata da Injo (che non so perché ha cancellato il suo post). Ovvero che $a \in NN$. Io avevo (sbagliando?) assunto che $a$ fosse un numero reale.

Ehm, provato a fare $(1.00000000000000000000000000000001)^3$ ?
Ti sembra a occhio che sia più grosso di 3?
PS: talvolta, quando non "viene" la dimostrazione di un teorema, è perché il teorema è falso. E tu hai colto per l'appunto che il passo induttivo sembra non fungere. Non a caso.
Oppure potrebbe essere giusta l'interpretazione postata da Injo (che non so perché ha cancellato il suo post). Ovvero che $a \in NN$. Io avevo (sbagliando?) assunto che $a$ fosse un numero reale.
Beh, se $a$ fosse naturale invece che reale sarebbe vera in quanto $na > n+1$ se $a>1$. Ma non è specificato

Ecco perché era sparito il tuo post!

L'ho riformulato perchè avevamo postato insieme

Dunque, anzitutto grazie ad entrambi.
Ho avuto la mia prima conferma. Non a caso non ho scritto l'insieme di appartenenza di $a$, proprio perchè volevo sentire i vostri pareri.
Ok, Injo, ho capito quello che dici nel caso $a$ naturale. Giustissimo, che stupido sono stato a non averci pensato prima.
Il problema, in realtà è più grosso di quel che sembra, a questo punto. Tutto nasce da qui:
La soluzione guidata dell'es dice: limitiamoci a $a>1$ (neanche lui dice se $RR$ o $NN$, ma vista la richiesta su $f(x)$ credo proprio in $RR$: anche perchè più avanti nel testo parla esplicitamente di $RR$, come vedrete; e poi, perchè scrivere $a>0$ e precisare diverso da $1$? Se $a$ fosse naturale, basta dire $a>1$). Poi, giustamente fa vedere che $0$ è minorante, e fin qui ok.
Poi, per mostrare che $0$ è l'inf, ovviamente dice: dobbiamo mostrare $forall epsilon>0, exists bar x in RR " tale che " a^(bar x)
"si può dimostrare per induzione che vale la seguente disuguaglianza: $a^-n<1/n$, $forall n in NN_0$ (escluso lo $0$).
Se non sono totalmente rimbambito, questa disuguaglianza è equivalente a quella di partenza, basta solo prenderne gli inversi.
Ora potete umiliarmi, grazie.
Scusate.
Paolo
Ho avuto la mia prima conferma. Non a caso non ho scritto l'insieme di appartenenza di $a$, proprio perchè volevo sentire i vostri pareri.
Ok, Injo, ho capito quello che dici nel caso $a$ naturale. Giustissimo, che stupido sono stato a non averci pensato prima.
Il problema, in realtà è più grosso di quel che sembra, a questo punto. Tutto nasce da qui:
"Il mio libro di Analisi":
Sia $f(x)=a^x$, $a>0, a ne 1$. Dimostrare che $"inf" f = 0$
La soluzione guidata dell'es dice: limitiamoci a $a>1$ (neanche lui dice se $RR$ o $NN$, ma vista la richiesta su $f(x)$ credo proprio in $RR$: anche perchè più avanti nel testo parla esplicitamente di $RR$, come vedrete; e poi, perchè scrivere $a>0$ e precisare diverso da $1$? Se $a$ fosse naturale, basta dire $a>1$). Poi, giustamente fa vedere che $0$ è minorante, e fin qui ok.
Poi, per mostrare che $0$ è l'inf, ovviamente dice: dobbiamo mostrare $forall epsilon>0, exists bar x in RR " tale che " a^(bar x)
"si può dimostrare per induzione che vale la seguente disuguaglianza: $a^-n<1/n$, $forall n in NN_0$ (escluso lo $0$).
Se non sono totalmente rimbambito, questa disuguaglianza è equivalente a quella di partenza, basta solo prenderne gli inversi.
Ora potete umiliarmi, grazie.
Scusate.
Paolo
In effetti, 1 fratto la radice quadrata del numero a che suggerivo non mi sembra che sia più piccolo di 2...
Beh, non sarà la prima volta che trovi un errore su un libro
Beh, non sarà la prima volta che trovi un errore su un libro

"Fioravante Patrone":
In effetti, 1 fratto la radice quadrata del numero a che suggerivo non mi sembra che sia più piccolo di 2...
Beh, non sarà la prima volta che trovi un errore su un libro
uuuuuuuuuuu, che sollievo, Fioravante!





Già pensavo di dovermi andare a nascondere perchè pensavo di aver detto un sacco di scemenze!
Ok, sto meglio.
Però, a questo punto, come si conclude che $"inf" f=0$ anche se $0
Beh, basta tenere presente che la disuguaglianza $a^n>n$ è vera per $n$ sufficientemente grande... Però se devo essere sincero, non vedo perchè tirare in ballo questa disuguaglianza "difficile" per una dimostrazione così immediata.
Voglio dire, per provare che $0="inf" \{ a^x,\ x\in RR \}$ occorre e basta far vedere che $AA epsilon >0,\ exists \bar(x)\in RR:\ a^\bar(x)
Voglio dire, per provare che $0="inf" \{ a^x,\ x\in RR \}$ occorre e basta far vedere che $AA epsilon >0,\ exists \bar(x)\in RR:\ a^\bar(x)
Grazie mille, Gugo. Ho capito. Grazie ancora.
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