Dubbio su grafico funzione integrale.
Ciao a tutti raga ho effettuato lo studio della seguente funzione integrale:
$f(x)=int_(0)^(|x|) e^(-t)/(|t-1|)dt$
Il dominio mi risulta essere $]-1,1[$
$f'(x)=1/(e^x|x-1|)$ se $x>0$
$f'(x)=-(e^x)/(|-x-1|)$ se $x<0$
La derivata seconda invece mi risulta essere:
$f"(x)=x/(e^x(1-x)^2)$ se $0
Ma quello che non ho capito è:Il punto 0 è un punto di minimo?Perchè non si annulla la derivata prima in questo punto?
$f(x)=int_(0)^(|x|) e^(-t)/(|t-1|)dt$
Il dominio mi risulta essere $]-1,1[$
$f'(x)=1/(e^x|x-1|)$ se $x>0$
$f'(x)=-(e^x)/(|-x-1|)$ se $x<0$
La derivata seconda invece mi risulta essere:
$f"(x)=x/(e^x(1-x)^2)$ se $0
Ma quello che non ho capito è:Il punto 0 è un punto di minimo?Perchè non si annulla la derivata prima in questo punto?
Risposte
"identikit_man":E chi ti ha detto che la funzione è derivabile nello 0? Guarda attentamente il grafico che hai fatto. Ah a proposito, ridimensiona l'immagine, tagliando via tutta la parte bianca a destra e in basso che serve solo ad allungare inutilmente il tuo messaggio.
Ma quello che non ho capito è:Il punto 0 è un punto di minimo?Perchè non si annulla la derivata prima in questo punto?
Scusa non riesco a tagliarla con paint.Cmq a meno che io non sbagli i punti in cui la funzione non è derivabile non sono quei punti in cui la derivata prima non è dedfinita.O sbaglio; in questo caso la derivata prima è definita nello 0.Scusatemi nel caso in cui abbia detto una cavolata....
Scusami, sono intervenuto per cancellare il grafico e il sistema ha pasticciato un po'. Il tuo messaggio com'è adesso è uguale a quello orginale?
No il grafico non si vede più....
Si ok ora si vede....
L'ho rifatto io, scusa il trambusto.
Tornando a noi, $f$ non è derivabile nello $0$. Dovresti accorgertene subito dal grafico: non vedi che è un punto angoloso? Ora bisogna dimostrare questo fatto. Come dovresti sapere (e se non lo sai corri a ripassarlo, perché è MOLTO importante), per mostrare che un punto è di non derivabilità hai essenzialmente due modi.
Uno è provare direttamente che non esiste il limite del rapporto incrementale. In questo caso non è molto agevole perché dovresti passare al limite sotto il segno di integrale ed è una operazione che richiede teoremi avanzati.
Un altro è mostrare che la derivata ha un salto. Come conseguenza di un importante teorema di analisi (alcuni lo chiamano teorema di Darboux) una derivata può essere discontinua, ma non può avere salti. E' questo che conviene mostrare qui, visto che conosciamo esplicitamente la derivata prima.
Infatti è $f'(x)={ ( e^(-x)/(|x-1|), x>0), (-e^(-x)/(|x-1|), x<0):}$. Calcoliamo i due limiti
$lim_{x \to 0^+} f'(x)= 1$;
$lim_{x \to 0^-} f'(x)=-1$.
Questo mostra che, se $f$ fosse derivabile in $0$, la propria derivata dovrebbe avere un salto. E questo non è possibile per il teorema di Darboux. Consegue che $f$ non è derivabile nello $0$.
Tornando a noi, $f$ non è derivabile nello $0$. Dovresti accorgertene subito dal grafico: non vedi che è un punto angoloso? Ora bisogna dimostrare questo fatto. Come dovresti sapere (e se non lo sai corri a ripassarlo, perché è MOLTO importante), per mostrare che un punto è di non derivabilità hai essenzialmente due modi.
Uno è provare direttamente che non esiste il limite del rapporto incrementale. In questo caso non è molto agevole perché dovresti passare al limite sotto il segno di integrale ed è una operazione che richiede teoremi avanzati.
Un altro è mostrare che la derivata ha un salto. Come conseguenza di un importante teorema di analisi (alcuni lo chiamano teorema di Darboux) una derivata può essere discontinua, ma non può avere salti. E' questo che conviene mostrare qui, visto che conosciamo esplicitamente la derivata prima.
Infatti è $f'(x)={ ( e^(-x)/(|x-1|), x>0), (-e^(-x)/(|x-1|), x<0):}$. Calcoliamo i due limiti
$lim_{x \to 0^+} f'(x)= 1$;
$lim_{x \to 0^-} f'(x)=-1$.
Questo mostra che, se $f$ fosse derivabile in $0$, la propria derivata dovrebbe avere un salto. E questo non è possibile per il teorema di Darboux. Consegue che $f$ non è derivabile nello $0$.
(Primo post nel forum... speriamo di non fare gaffe eccessive..)
Se vedi il grafico in 0 hai un punto di "minimo" ma come lo potresti avere per funzioni di tipo: $y=sqrt(x)$ o meglio $y=|x|$ che in realtà hanno un punto di non derivabilità (cuspide o angoloso).
Se ti vai a calcolare le derivate in 0 infatti ti viene 1 da destra e -1 da sinistra: essendo la derivata destra, diversa da quella sinistra, ma entrambe a valori finiti, in 0 hai un punto angoloso di non derivabilità (dato dal $|x|$ che hai come estremo della tua funzione integrale).
Se vedi il grafico in 0 hai un punto di "minimo" ma come lo potresti avere per funzioni di tipo: $y=sqrt(x)$ o meglio $y=|x|$ che in realtà hanno un punto di non derivabilità (cuspide o angoloso).
Se ti vai a calcolare le derivate in 0 infatti ti viene 1 da destra e -1 da sinistra: essendo la derivata destra, diversa da quella sinistra, ma entrambe a valori finiti, in 0 hai un punto angoloso di non derivabilità (dato dal $|x|$ che hai come estremo della tua funzione integrale).
Quindi praticamente siccome limite destro e sinistro della derivata esistono finiti e diversi tra loro; vuol dire che ho un punto di discontinuità di prima specie per la derivata..O sbaglio?
No, non è un punto di discontinuità, la funzione in $0$ è definita, semplicemente non è derivabile in quanto per definizione affinchè una funzione sia derivabile in un punto generico, deve ammettere derivate finite e quella destra deve essere uguale a quella sinistra.
Il fatto che la derivata destra e quella sinistra siano entrambe finite ti dice che il punto in analisi è un punto angoloso (che di solito è dovuto a un modulo), se invece entrambe le derivate fossero andate a infinito avresti avuto un punto di cuspide (che è invece dovuto alle radici con esponente paro).
Il fatto che la derivata destra e quella sinistra siano entrambe finite ti dice che il punto in analisi è un punto angoloso (che di solito è dovuto a un modulo), se invece entrambe le derivate fossero andate a infinito avresti avuto un punto di cuspide (che è invece dovuto alle radici con esponente paro).
Quindi in questo caso io ho una funzione che risulta essere continua nello $0$; tuttavia però non è derivabile in questo punto.
@lordmarcho: Salve, vedo che sei nuovo.
Ti pregherei di leggere ciò che riguarda le dimensioni dell'avatar nel regolamento (cfr. 2.3) e di prendere i necessari provvedimenti, visto che il ridimensionamento automatico dà un po' di problemi ultimamente.
Grazie e benvenuto.
Ti pregherei di leggere ciò che riguarda le dimensioni dell'avatar nel regolamento (cfr. 2.3) e di prendere i necessari provvedimenti, visto che il ridimensionamento automatico dà un po' di problemi ultimamente.
Grazie e benvenuto.
@ identikit_man: esattamente! 
@Gugo82: Mi cospargo il capo di cenere, credo di aver risolto adesso.. ho cambiato avatar!
Fatto ciò... ti ringrazio per il benvenuto!
@Gugo82: Mi cospargo il capo di cenere, credo di aver risolto adesso.. ho cambiato avatar!
Fatto ciò... ti ringrazio per il benvenuto!
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