Dubbio su gerarchia degli infiniti e limiti

[rocco951]

Ciao a tutti...vi scrivo perchè vorrei porvi una domanda sulla gerarchia degli infiniti. In particolare, considerate questo limite : $\lim_{x \to \0^+}x ln x $ la cui forma indeterminata (dato che x tende a 0 da destra) è 0*(-infinito) ; generalmente la forma 0* infinito va sempre trasformata nella forma infinito/infinito oppure 0/0 per poterla risolvere; in questo caso il limite che vi ho proposto,portando la x al denominatore, diventa $lim_(x->0^+)(ln x)/(1/x) $ che,appunto,genera la forma indeterminata infinito/infinito; una volta trasformato il limite nella forma infinito/infinito il mio professore dice che questo limite si può risolvere semplicemente applicando la gerarchia degli infiniti e secondo tale gerarchia vincerebbe il denominatore cioè $1/x$ e quindi il risultato di questo limite è zero; non ho capito,però, come faccio a stabilire che, appunto, vince la funzione al denominatore cioè $1/x$ rispetto alla funzione logaritmica ? Per la gerarchia degli infiniti è vero che la funzione potenza vince sulla funzione logaritmica ma in questo caso al denominatore ho $1/x$ e quindi come devo ragionare? Devo considerare $1/x$ come $x^-1$ ?
P.S. Il mio prof detesta De l 'hopital e quindi se capita un limite del genere all'esame devo risolverlo solo applicando la gerarchia degli infiniti;
Grazie anticipatamente.

[feddy]

Per non usare de l'Hopital, basta fare il cambio di variabile $x=e^{-y}$, da cui il limite si riscrive $\lim_{y \rarr + \infty} e^{-y} \ln(e^{-y})=- \lim_{y \rarr +infty} \frac{y}{e^y}=0$, dove l'ultima uguaglianza vale per un noto confronto fra ordini di infinito

[rocco951]

Ciao feddy,grazie mille per la risposta.Per quanto riguarda il cambiamento di variabile, anche io avevo provato ad applicarlo però a differenza tua io ho posto t=1/x da e quindi x=1/t giungendo,tramite il confronto tra infiniti, al risultato da te ottenuto cioè zero .Il mio prof. sosteneva, però,che non è necessario il cambio di variabile poiché si può effettuare semplicemente un confronto tra infiniti.Pertanto ancora non mi capacito come è possibile effettuare un confronto tra infiniti avendo 1/x al denominatore.

[feddy]

Posso capire non usare de l'Hopital, ma secondo me il cambio di variabile è più opportuno. Questa cosa della gerarchia degli infiniti ogni tanto rischia di essere problematica, e qui sul forum ce ne sono stati diversi esempi. Comunque in questo caso puoi benissimo "vedere" $\frac{1}{x}$ come $x^{-1}$...

[rocco951]

Ciao feddy grazie ancora per la risposta...sono pienamente d'accordo con quello che dici visto che cambiando variabile è più facile vedere quale funzione prevale sull'altra in accordo con la gerarchia degli infiniti. Comunque io credo che il mio prof. intendeva di vedere 1/x come x elevato alla meno 1 come giustamente sostieni tu e secondo me questo è l'unico modo per poter applicare direttamente la gerarchia degli infiniti senza cambiare variabile. Ho proposto la domanda anche al mio prof. cioè ho chiesto come sia possibile effettuare un confronto tra infiniti avendo 1/x al denominatore ma mi ha dato una risposta vaga dicendomi di chiedermi che tipo di funzione è 1/x ...

[feddy]

Sì vuole andare a parare sul fatto che è una potenza... comunque sinceramente non mi sembra un gran approccio per uno che affronta per le prima volta questi argomenti