Dubbio su funzione inversa di x^2
Ciao a tutti,
il problema è il seguente:
Sia $f:Z rightarrow Z$ definita come $f(x)=x^2$ $forall x in Z$.
Determinare:
$f^-1(9)=$ 3
$f^-1(-4)=$
$f^-1(6)=$
$f^-1(N)=$
$f^-1(2N)=$
$f^-1({-5,4,-2,10})= {25,16,4,100}$
$f^-1(Z)=$
$Im f= {f(x) in Z | x in Z} = {0,1,2,4,9,16,25,...}$
Come devo trattare i casi che ho lasciato in bianco?
Sò che la funzione inversa di $f(x)=x^2$ è $f^-1(x)=+-sqrt(x)$, che è definita solo per $x >= 0$, inoltre stiamo lavorando in $Z$ quindi esiste la radice quadrata dei soli numeri che sono quadrati perfetti.
A questo punto mi viene da dire che $f^-1(-4)$ e $f^-1(9)$ sono $=emptyset$ , mentre $f^-1(N)$ $f^-1(2N)$ $f^-1(Z)$ ?
Potreste aiutarmi a dare una risposta formale, ed eventualmente segnalarmi inesattezze in quello che ho scritto ?
Grazie
il problema è il seguente:
Sia $f:Z rightarrow Z$ definita come $f(x)=x^2$ $forall x in Z$.
Determinare:
$f^-1(9)=$ 3
$f^-1(-4)=$
$f^-1(6)=$
$f^-1(N)=$
$f^-1(2N)=$
$f^-1({-5,4,-2,10})= {25,16,4,100}$
$f^-1(Z)=$
$Im f= {f(x) in Z | x in Z} = {0,1,2,4,9,16,25,...}$
Come devo trattare i casi che ho lasciato in bianco?
Sò che la funzione inversa di $f(x)=x^2$ è $f^-1(x)=+-sqrt(x)$, che è definita solo per $x >= 0$, inoltre stiamo lavorando in $Z$ quindi esiste la radice quadrata dei soli numeri che sono quadrati perfetti.
A questo punto mi viene da dire che $f^-1(-4)$ e $f^-1(9)$ sono $=emptyset$ , mentre $f^-1(N)$ $f^-1(2N)$ $f^-1(Z)$ ?
Potreste aiutarmi a dare una risposta formale, ed eventualmente segnalarmi inesattezze in quello che ho scritto ?
Grazie
Risposte
Ti devi chiedere quali sono i numeri interi che al quadrato dato il valore richiesto.. Secondo te quali sono i numeri interi che al quadrato ti danno 9?
"Maci86":
Ti devi chiedere quali sono i numeri interi che al quadrato dato il valore richiesto.. Secondo te quali sono i numeri interi che al quadrato ti danno 9?
Ciao Maci86, come al solito sei molto disponibile e ti ringrazio!
Sono +3 e -3 , infatti $f(3)=9$ e $f(-3)=9$, per cui $(3,9),(-3,9) in f$
Ora, per la funzione inversa prendiamo le coppie invertite di elementi se non sbaglio, quindi $(9,3),(9,-3) in f^-1$
A questo punto quindi vacilla anche la mia supposizione che $f^-1(9) = 3$
mi verrebbe da dire che allora è uguale a $+-3$, ma ciò non violerebbe la definizione di funzione (cioè che a un elemento nel dominio deve corrispondere uno ed un solo elemento nel codominio) ?Spero di non aver detto bestialità !
Ma $f^-1$ è una controimmagine, non una funzione. 
"Maci86":
Ma $f^-1$ è una controimmagine, non una funzione.
Hai sempre ragione
Per cui, tornando a noi, ti propongo una soluzione:
"lorenzoasr":
$ f^-1(9)= $ 3
In questo caso il risultato sarà ${+-3}$
"lorenzoasr":
$ f^-1(-4)= $
$ f^-1(6)= $
Qui invece non esiste la controimmagine...quindi ${emptyset}$ ?
"lorenzoasr":
$ f^-1(N)= $
$ f^-1(2N)= $
$ f^-1(Z)= $
In questi casi invece, la controimmagine di un insieme come la gestisco? In $N$ e $Z$ ammettono controimmagine solo gli elementi che sono quadrati perfetti, in $2N$ invece solo i quadrati perfetti pari !
"lorenzoasr":
$ f({-5,4,-2,10})= {25,16,4,100} $
$ Im f= {f(x) in Z | x in Z} = {0,1,2,4,9,16,25,...} $
"lorenzoasr":
Spero di non aver detto bestialità !
Ribadisco
La controimmagine, sia di $NN$ che di $ZZ$, è proprio $ZZ$. Se pensi bene, sia $NN$ che $ZZ$ contengono tutti i quadrati. Tutto il resto è giusto!
Effettivamente mi soffermavo troppo sugli elementi di $Z$ e $N$ che non ammettono controimmagine, senza pensare che tutti i quadrati perfetti sono generati da tutto N, per cui...
Ti ringrazio! Le conversazioni con te sono molto stimolanti e, considerato che ho l'esame di Algebra ad Aprile, penso che troverai presto altri miei post sparsi qua e la
Ti ringrazio! Le conversazioni con te sono molto stimolanti e, considerato che ho l'esame di Algebra ad Aprile, penso che troverai presto altri miei post sparsi qua e la
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