Dubbio su funzione integrale

[Brancaleone1]

Ciao a tutti
Devo disegnare qualitativamente il grafico di $f(x)=\int_{-1}^x \arctan(1/t)dt$
Dopo aver calcolato il dominio dell'integranda, che è $(-\infty, 0) \cup (0, +\infty)$, controllo se la funzione converge su $0$.
Ho che:

$\lim_{t \to 0^{-}} \arctan(1/t) = -\pi/2$
$\lim_{t \to 0^{+}} \arctan(1/t) = +\pi/2$

ma questo è contrastante con il grafico effettivo, che risulta essere questo.

Dove sto sbagliando?

[gugo82]

E perchè pensi che i limiti contrastino con il grafico?

A me pare cha vada tutto a posto, no?

[Brancaleone1]

Io avevo ragionato così: poiché i limiti destro e sinistro sono diversi il limite non esiste
$\Rightarrow$ l'integrale non converge in 0 (l'integranda non è prolungabile per continuità in $t_0=0$)
$\Rightarrow$ poiché il punto iniziale è $-1$, il dominio è $(-\infty, 0)$
$\Rightarrow$ ...non mi aspettavo la funzione al primo e quarto quadrante.

...ma è ovvio che se mi dici così ho sbagliato a interpretare i limiti

[gugo82]

"Brancaleone":Io avevo ragionato così: poiché i limiti destro e sinistro sono diversi il limite non esiste
$\Rightarrow$ l'integrale non converge in 0 (l'integranda non è prolungabile per continuità in $t_0=0$)

E questa implicazione da dove esce?

Una funzione con discontinuità a salto è integrabile, non credi?

[Brancaleone1]

Urca! E' vero!
Bestia che non sono altro!

...Quindi si andrebbe avanti così:
$\Rightarrow$ l'integrale converge in $0$
$\Rightarrow$ il domino risulta essere $(-\infty, +\infty)$
$\Rightarrow f'(x)=\arctan(1/x)$ che è $>0$ per $x>0 \Rightarrow f(x)$ cresce solo per $x$ positive
$\Rightarrow f''(x)=\frac{1}{1+(1/x^2)} \cdot (-1/x^2)= -\frac{1}{x^2+1}$ che è $<0$ per qualunque $x \Rightarrow f(x)$ è sempre concava

Inoltre
$\lim_{t \to \pm \infty} \arctan(1/t) = 0$ di ordine 1 $\Rightarrow$ l'integrale converge agli estremi del dominio

Mettendo tutto insieme ottengo qualitativamente il grafico in questione. Grazie mille!