Dubbio su funzione di due variabili
Ragazzi facendo un esercizio sullo studio di funzione di due variabili mi è sorto un dubbio....quando verifico la continuità in un determinato punto (x0,y0) (assegnato dalla prof) considero la funzione in valore assoluto ma se invece faccio il cambio di coordinate e passo alle coordinate polari devo ancora considerare la funzione in valore assoluto o non c'è bisogno?Perchè se la risposta è si e la posso considerare in valore assoluto allora sicuramente posso maggiorare il sen(t) e il cos(t) con 1 se la risposta è no come posso maggiorarli???Grazie a tutti.
Risposte
Posta un esempio.
La funzione di partenza è: $ ( |x|^k * (x^3 - y))/(sqrt(x^2 +y^2) $ se x è diverso da 0 mentre vale 0 se x=0
quindi usando le coordinate polari ottengo: $( |ro cos(t)|^k * ((ro cos(t))^3 - (ro sin(t))))/|ro|$
Se in generale devo considerare l'intera funzione in valore assoluto(come quando studio la continuità di f(x,y) ) allora il fattore$((ro cos(t))^3 - (ro sin(t)))$ lo posso maggiorareprima con la somma dei singoli valori assoluti e poi(nella maggiorazione successiva) con 1 altrimenti non so come maggiorarlo
EDIT: scusate la dimenticanza il parametro K è un normale parametro reale quindi bisogna distinguere i vari casi!
quindi usando le coordinate polari ottengo: $( |ro cos(t)|^k * ((ro cos(t))^3 - (ro sin(t))))/|ro|$
Se in generale devo considerare l'intera funzione in valore assoluto(come quando studio la continuità di f(x,y) ) allora il fattore$((ro cos(t))^3 - (ro sin(t)))$ lo posso maggiorareprima con la somma dei singoli valori assoluti e poi(nella maggiorazione successiva) con 1 altrimenti non so come maggiorarlo
EDIT: scusate la dimenticanza il parametro K è un normale parametro reale quindi bisogna distinguere i vari casi!
Facciamo le cose per bene, senza fretta...
Immagino che la domanda sia: determinare k in modo che quella funzione sia continua in (0,0).
Poniamo:
[tex]$f(x,y):=\left{\begin{cases} \displaystyle\frac{|x|^k\left(x^3-y\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad\text{se } (x,y)\ne (0,0) \\ 0\quad\text{se } (x,y)=(0,0)\right.\end{cases}[/tex]
Quindi, in accordo con la definizione di continuità, verificare che
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.[/tex]
Passando a coordinate polari ottieni
[tex]$\tilde g(\rho,t):=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{\rho} \left{|\rho\cos(t)|^k\left((\rho\cos(t))^3-\rho\sin(t)\right)\right} \quad\text{se }(\rho,t)\in(0,+\infty)\times(0,2\pi)\\ 0\quad\text{se }(\rho,t)\in\{0\}\times(0,2\pi)\end{cases}[/tex]
Sia [tex]g(\rho,t):=\displaystyle\frac{1}{\rho} \left{|\rho\cos(t)|^k\left((\rho\cos(t))^3-\rho\sin(t)\right)\right}[/tex]
Al denominatore di [tex]g(\rho,t)[/tex], [tex]|\rho|=\rho[/tex] perché [tex]\rho>0[/tex].
Si tratta quindi di controllare che
[tex]$\lim_{\,\,\,\rho\to0^+} \tilde g(\rho,t)\left(=\lim_{\,\,\,\rho\to0^+} g(\rho,t)\right)=\tilde g(0,t)=0,\quad\forall t\in(0,2\pi).[/tex]
Bada bene: ho scritto [tex]\tilde g(0,t)[/tex], e non [tex]\tilde g(0,0)[/tex], in quanto ho cambiato coordinate! Al punto di coordinate
cartesiane (0,0), infatti, coorispondono tutte le coppie (0,t) al variare di t nell'intervallo [tex](0,2\pi)[/tex]
(è come dire che il punto di coordinate cartesiane (0,0) è quello che ha distanza 0 dall'origine, ma al quale corrispondono infiniti angoli tra 0 e 360 gradi).
Per effettuare questa verifica, possiamo utilizzare il teorema del confronto, cercando di stimare [tex]|g(\rho,t)|[/tex] (quantità [tex]\ge 0[/tex])
con una quantità positiva che non dipende da t (ovvero, cerchiamo una stima uniforme rispetto a t) e che tende a 0 per [tex]\rho\to0^+[/tex], per ogni t in [tex](0,2\pi)[/tex].
Se osservi bene, puoi raccogliere [tex]\rho[/tex] al numeratore, quindi il valore assoluto di [tex]g(\rho,t)[/tex] sarà il prodotto del
valore assoluto di una quantità che dipende soltanto da [tex]\rho[/tex], e del valore assoluto di una quantità che dipende solo da t.
Adesso continua tu...
Immagino che la domanda sia: determinare k in modo che quella funzione sia continua in (0,0).
Poniamo:
[tex]$f(x,y):=\left{\begin{cases} \displaystyle\frac{|x|^k\left(x^3-y\right)}{\sqrt{x^2+y^2}}\quad\text{se } (x,y)\ne (0,0) \\ 0\quad\text{se } (x,y)=(0,0)\right.\end{cases}[/tex]
Quindi, in accordo con la definizione di continuità, verificare che
[tex]$\lim_{(x,y)\to(0,0)} f(x,y)=f(0,0)=0.[/tex]
Passando a coordinate polari ottieni
[tex]$\tilde g(\rho,t):=\begin{cases} \displaystyle\frac{1}{\rho} \left{|\rho\cos(t)|^k\left((\rho\cos(t))^3-\rho\sin(t)\right)\right} \quad\text{se }(\rho,t)\in(0,+\infty)\times(0,2\pi)\\ 0\quad\text{se }(\rho,t)\in\{0\}\times(0,2\pi)\end{cases}[/tex]
Sia [tex]g(\rho,t):=\displaystyle\frac{1}{\rho} \left{|\rho\cos(t)|^k\left((\rho\cos(t))^3-\rho\sin(t)\right)\right}[/tex]
Al denominatore di [tex]g(\rho,t)[/tex], [tex]|\rho|=\rho[/tex] perché [tex]\rho>0[/tex].
Si tratta quindi di controllare che
[tex]$\lim_{\,\,\,\rho\to0^+} \tilde g(\rho,t)\left(=\lim_{\,\,\,\rho\to0^+} g(\rho,t)\right)=\tilde g(0,t)=0,\quad\forall t\in(0,2\pi).[/tex]
Bada bene: ho scritto [tex]\tilde g(0,t)[/tex], e non [tex]\tilde g(0,0)[/tex], in quanto ho cambiato coordinate! Al punto di coordinate
cartesiane (0,0), infatti, coorispondono tutte le coppie (0,t) al variare di t nell'intervallo [tex](0,2\pi)[/tex]
(è come dire che il punto di coordinate cartesiane (0,0) è quello che ha distanza 0 dall'origine, ma al quale corrispondono infiniti angoli tra 0 e 360 gradi).
Per effettuare questa verifica, possiamo utilizzare il teorema del confronto, cercando di stimare [tex]|g(\rho,t)|[/tex] (quantità [tex]\ge 0[/tex])
con una quantità positiva che non dipende da t (ovvero, cerchiamo una stima uniforme rispetto a t) e che tende a 0 per [tex]\rho\to0^+[/tex], per ogni t in [tex](0,2\pi)[/tex].
Se osservi bene, puoi raccogliere [tex]\rho[/tex] al numeratore, quindi il valore assoluto di [tex]g(\rho,t)[/tex] sarà il prodotto del
valore assoluto di una quantità che dipende soltanto da [tex]\rho[/tex], e del valore assoluto di una quantità che dipende solo da t.
Adesso continua tu...
La facoltà dove sono ora sta chiudendo per cui appena arrivo a casa(circa 20minuti) posto tutti i passaggi che ho fatto per verificare la continuità(così vedi se è dove ho sbagliato) della funzione in 0,0 comunque grazie ancora per l'aiuto che mi stai dando con queste funzioni!! 
Sì, ma secondo me vale la pena che tu legga bene anche ciò che ho scritto sopra: ti aiuterà a capire perché si fanno certe cose e non altre (maggiorazioni comprese).
L'ho modificato leggermente, ora mi sembra una spiegazione più precisa.
Per i moderatori: la mia non è una soluzione (come può sembrare a prima vista leggendo il post),
ho solo riscritto per bene l'esercizio, con alcune spiegazioni.
Per i moderatori: la mia non è una soluzione (come può sembrare a prima vista leggendo il post),
ho solo riscritto per bene l'esercizio, con alcune spiegazioni.
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