Dubbio su forma differenziale
Buongiorno a tutti.
Ripassando le forme differenziali mi è venuto questo dubbio. Se il dominio di una forma differenziale non è stellato come nel caso di $\omega = \(\frac{1}{2}\sqrt\frac{1+y}{x}\)dx+\(\frac{1}{y}+\frac{1}{2}\sqrt\frac{x}{1+y}\)dy$
posso suddividere il dominio in due regioni stellate e in ciascuna di esse concludere che la forma se è chiusa è anche esatta? In particolare mi viene chiesto di trovare la primitiva che si annulla in (1,1). Quindi potrei scegliere proprio la regione del dominio contentente questo punto. Giusto?
Ripassando le forme differenziali mi è venuto questo dubbio. Se il dominio di una forma differenziale non è stellato come nel caso di $\omega = \(\frac{1}{2}\sqrt\frac{1+y}{x}\)dx+\(\frac{1}{y}+\frac{1}{2}\sqrt\frac{x}{1+y}\)dy$
posso suddividere il dominio in due regioni stellate e in ciascuna di esse concludere che la forma se è chiusa è anche esatta? In particolare mi viene chiesto di trovare la primitiva che si annulla in (1,1). Quindi potrei scegliere proprio la regione del dominio contentente questo punto. Giusto?
Risposte
Si di solito quando il dominio iniziale non è stellato o semplicemente connesso si preferisce mettersi in una regione dove questa condizione vale per avere la condizioni che dicevi tu. Altrimenti provi direttamente a calcolare il potenziale e vedi se è esatta, senza preoccuparti della chiusura.
Grazie. Per trovare una primitiva posso procedere direttamente con una integrazione lungo due tratti di segmento uno orizzontale di punto iniziale (1,1) e uno verticale di punto finale generico (1,y)?
Io in verità la primitiva la trovo in un altro modo. Se indico con $F$ il potenziale della forma
differenziale$a(x,y)dx+b(x,y)dy$allora per trovarlo impongo le due condizioni:
$F_x(x,y)=a(x,y)=> F(x,y)=inta(x,y)dx$
$F_y(x,y)=b(x,y)$
Fatto questo ottieni una famiglia di primitive (famiglia di potenziali), per trovare quello che a noi interessa basta imporre che $F(1,1)=0$
differenziale$a(x,y)dx+b(x,y)dy$allora per trovarlo impongo le due condizioni:
$F_x(x,y)=a(x,y)=> F(x,y)=inta(x,y)dx$
$F_y(x,y)=b(x,y)$
Fatto questo ottieni una famiglia di primitive (famiglia di potenziali), per trovare quello che a noi interessa basta imporre che $F(1,1)=0$
Forse ho capito a quale metodo ti riferisci. Nella prima di quelle relazioni non dovrei aggiungere $g(y)$? Quindi se il dominio non è stellato mi suggerisci di procedre direttamente col calcolo della primitiva senza verificare se la forma è chiusa?
"EnigMat":
Grazie. Per trovare una primitiva posso procedere direttamente con una integrazione lungo due tratti di segmento uno orizzontale di punto iniziale (1,1) e uno verticale di punto finale generico (1,y)?
No. Questo metodo purtroppo funziona solo se il dominio è convesso, nel qual caso è il mio preferito. Ma se il dominio non è convesso, nisba: pensa un po' a cosa può succedere a cercare di fare così nel complementare di un disco.
PS: Io consiglio di verificare sempre se una forma differenziale è chiusa. E' una verifica che costa poco e dà informazioni molto utili.
"dissonance":
[quote="EnigMat"]Grazie. Per trovare una primitiva posso procedere direttamente con una integrazione lungo due tratti di segmento uno orizzontale di punto iniziale (1,1) e uno verticale di punto finale generico (1,y)?
No. Questo metodo purtroppo funziona solo se il dominio è convesso, nel qual caso è il mio preferito. Ma se il dominio non è convesso, nisba: pensa un po' a cosa può succedere a cercare di fare così nel complementare di un disco.
PS: Io consiglio di verificare sempre se una forma differenziale è chiusa. E' una verifica che costa poco e dà informazioni molto utili.[/quote]
mi sono perso un attimo sul fatto del dominio convesso me lo potresti spiegare un attimo?!
Può capitare che la poligonale costituita da un segmento orizzontale e un segmento verticale scappi fuori dal dominio. A pensarci bene questo può capitare pure con domini convessi, hai ragione. In tutti i modi, se capita, bisogna cambiare metodo.
Scusate giusto per riassumere un attimo:
1) Verifico se il dominio è stellato
2) se lo è e la forma è chiusa, allora è anche esatta procedo col calcolo di una primitiva
3) se non lo è mi restringo in sottoinsieme stellato del dominio. Anche in questo caso se è chiusa allora è anche esatta e procedo col calcolo di una primtiva?
1) Verifico se il dominio è stellato
2) se lo è e la forma è chiusa, allora è anche esatta procedo col calcolo di una primitiva
3) se non lo è mi restringo in sottoinsieme stellato del dominio. Anche in questo caso se è chiusa allora è anche esatta e procedo col calcolo di una primtiva?
Ma dipende dalla consegna, non si può fare un riassunto così. Le cose che dici sono quasi vere, a parte il punto 3, in cui devi specificare che la forma è esatta nel dominio stellato, non sai se è esatta globalmente. Capire se una forma è esatta globalmente è un fatto pù complicato: o trovi esplicitamente una primitiva, oppure (se il dominio ha un solo buco) trovi una circuitazione che lo avvolge e che si annulla.
Il testo mi chiede di determinare una particolare primitiva che si annulla in un punto. Quindi potrei restringermi alla regione (stellata) che contiene quel punto e verificarne la chiusura da cui l'esattezza col conseguente calcolo della primitiva... è così?
Si in genere ti dovresti mettere nell'intorno del punto che ti dà l'esercizio e studiare la forma differenziale.
Perfetto. Grazie mille :=)
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