Dubbio su esercizio su sviluppo di Laurent
Gentili utenti,
posto qui sperando di avere "azzeccato" la sezione corretta.
Sto preparando l'esame di metodi matematici e avrei qualche difficoltà (o antipatia) nei confronti dello sviluppo di Laurent.
Vi propongo un esercizio assegnato l'anno passato all'esame:
data la funzione $f(z)=\frac{sin(z)}{z(z-1)}$
studiarne le singolarità, calcolare i residui, verificare che la loro somma sia nulla e sviluppare (fino ai primi 3 termini) intorno a 0 e 1.
Per quanto riguarda le singolarità, z=0 è un punto regolare, z=1 è un polo di primo ordine e, per la presenza del seno, l'infinito è un punto di accumulazione di zeri, quindi singolarità essenziale.
Ora calcolo i residui e, se non ho sbagliato i conti, il residuo in z=1 è $R_1=sin(1)$.
Ora sviluppo attorno al punto all'infinito (e qui sicuramente sbaglio qualcosa):
sul libro mi suggerisce che lo sviluppo è dato da $f(z)=\sum_0^{\infty}{\frac{a_k}{z^k}}$
dove gli $a_k$, a quanto ho capito, sono i coefficienti di Taylor calcolati per f(z) intorno all'origine.
A questo punto noto che 1/z poverino non mi dà problemi, 1/(z-1) è la somma di una serie geometrica e il seno ha uno sviluppo noto, quindi:
$f(z)=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^{\infty}(-z^k)$
sostituendo a z 1/z e raccogliendo qulche termine:
$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^{-2n}}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^{\infty}z^{-k}$
a me serve il coefficiente di 1/z, allora, se non ho sbagliato i calcoli, devo prendere n=0 e k=1, quindi:
$a_{-1}=-1$ e allora il residuo è il coefficiente cambiato di segno, cioè 1.
Purtroppo la somma dei residui non è nulla, quindi sbaglio qualcosa. Qualcuno può darmi una mano? Grazie
posto qui sperando di avere "azzeccato" la sezione corretta.
Sto preparando l'esame di metodi matematici e avrei qualche difficoltà (o antipatia) nei confronti dello sviluppo di Laurent.
Vi propongo un esercizio assegnato l'anno passato all'esame:
data la funzione $f(z)=\frac{sin(z)}{z(z-1)}$
studiarne le singolarità, calcolare i residui, verificare che la loro somma sia nulla e sviluppare (fino ai primi 3 termini) intorno a 0 e 1.
Per quanto riguarda le singolarità, z=0 è un punto regolare, z=1 è un polo di primo ordine e, per la presenza del seno, l'infinito è un punto di accumulazione di zeri, quindi singolarità essenziale.
Ora calcolo i residui e, se non ho sbagliato i conti, il residuo in z=1 è $R_1=sin(1)$.
Ora sviluppo attorno al punto all'infinito (e qui sicuramente sbaglio qualcosa):
sul libro mi suggerisce che lo sviluppo è dato da $f(z)=\sum_0^{\infty}{\frac{a_k}{z^k}}$
dove gli $a_k$, a quanto ho capito, sono i coefficienti di Taylor calcolati per f(z) intorno all'origine.
A questo punto noto che 1/z poverino non mi dà problemi, 1/(z-1) è la somma di una serie geometrica e il seno ha uno sviluppo noto, quindi:
$f(z)=\frac{1}{z}\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^nz^{2n+1}}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^{\infty}(-z^k)$
sostituendo a z 1/z e raccogliendo qulche termine:
$f(z)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{(-1)^{n+1}z^{-2n}}{(2n+1)!}\sum_{k=0}^{\infty}z^{-k}$
a me serve il coefficiente di 1/z, allora, se non ho sbagliato i calcoli, devo prendere n=0 e k=1, quindi:
$a_{-1}=-1$ e allora il residuo è il coefficiente cambiato di segno, cioè 1.
Purtroppo la somma dei residui non è nulla, quindi sbaglio qualcosa. Qualcuno può darmi una mano? Grazie
Risposte
A puro titolo informativo, credo di aver capito l'errore... Lo sviluppo e poi la sostituzione nel caso del seno è lecita perchè ha raggio di convergenza infinito, mentre per la funzione fratta no poichè esso è 1, quindi non posso sviluppare, allora$\frac{1}{z(z-1}$--->$\frac{w^2}{1-w}$ e sviluppando:
$\sum_{k=0}^\infty w^{k+2}$
allora viene fuori:
$\sum_{k,n=0}^\infty (-1)^n/(2n+1)!w^{-2n+k+1}$
e il coefficiente della potenza z^-1 è proprio sin(1)
$\sum_{k=0}^\infty w^{k+2}$
allora viene fuori:
$\sum_{k,n=0}^\infty (-1)^n/(2n+1)!w^{-2n+k+1}$
e il coefficiente della potenza z^-1 è proprio sin(1)
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