Dubbio su equazione esponenziale svolta...

[Black Fox1]

Ciao a tutti! Ho svolto la seguente equazione esponenziale tuttavia il risultato proposto da libro è differente... non capisco dove sbaglio e ringrazio anticipatamente chiunque abbia la pazienza di aiutarmi!
Ecco l'esercizio:

$ 3^(x+1)+3^(x-1)=4^(x)+2^(2x-1) $

Io l'ho svolto così:

$ 3^(x+1)+3^(x-1)=2^(2x)+2^(2x-1) $

$ 3^(x-1)(1+3^2)=2^(2x-1)(1+2) $

$ L og(3^(x-1)(10))=L og(2^(2x-1)(3)) $

$ L og(3)^(x-1)+L og(10)=L og(2)^(2x-1) + L og(3) $

$ (x-1)L og(3)+1=(2x-1)L og(2)+L og(3) $

$ xL og(3) - L og(3)+1=2xL og(2)- L og(2)+L og(3) $

$ xL og(3)-xL og(4)=-L og(2)+ L og(3)+ L og(3)-1 $

$ x=(-L o g(2)+L og(9)-1)/(L og(3)-L og(4) $

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Sembrerebbe tutto corretto (purchè non abbia preso un abbaglio io stesso, beninteso).
Cosa non ti tornerebbe?

Saluti.

[Zero87]

Spunto per una soluzione alternativa, per complicare le cose semplici e spremere le meningi.

"Black Fox":$ 3^(x-1)(1+3^2)=2^(2x-1)(1+2) $

Hai
$(3^(x-1))/3=(2^(2x-1))/10$
quindi
$3^(x-2)=(2^(2x-2))/5$
ovvero, estraendo un 4 ($2^(2x-2)=2^(2x-4+2)=2^(2x-4)*4$)
$3^(x-2)=(2^(2x-4))*4/5$
Ricordando che $2x-4=2(x-2)$ ho $2^(2x-4)=(2^2)^(x-2)=4^(x-2)$ quindi
$3^(x-2)=4^(x-2)*4/5$
portando al primo membro l'altro esponenziale
$(3/4)^(x-2)=4/5$
cioè
$(3/4)^x\cdot 16/9=4/5$
dunque
$(3/4)^x = 4/5*9/16=9/20$ con un leggero abuso di scrittura (invece di ripetere il passaggio).
che è del tipo $a^y=b$ che si risolve con un passaggio di logaritmo.

$x=log_(3/4) (9/20)$.

Che, in fin dei conti, è la tua stessa soluzione (basta usare un paio di proprietà del logaritmo, tipo $log(a)+log(b)=log(ab)$).

[Black Fox1]

Grazie ad entrambi per la risposta! Forse ho capito come si risolvono, tuttavia per chiarire ancora meglio se mi trovassi un equazione di questo tipo:

$ 3^x-3^(x+1)-5^(x)+5^(x+1)=0 $

Procedendo in questo modo ho dei problemi:

$ 3^x-3^(x+1)=5^x-5^(x+1) $

$ 3^x(1-3)=5^x(1-5) $

...Ed ora? Ho due problemi il primo è dovuto al fatto che il passaggio dopo mi porterebbe a moltiplicare dentro un logaritmo un argomento negativo con un positivo, e il logaritmo non può avere argomento negativo... il secondo è che anche "estraendo" il segno meno (cosa sicuramente illegale ) mi torna un risultato leggermente diverso rispetto a quello proposto (al denominatore ho un argomento di un logaritmo con frazione invertita...)
Mi sto perdendo per una stupidaggine credo vi prego aiutatemi

[Sk_Anonymous]

Ciao.

Data l'equazione

$3^x(1-3)=5^x(1-5) Rightarrow -2*3^x=-4*5^x Rightarrow 3^x=2*5^x$

si ha

$3^x/5^x=2 Rightarrow (3/5)^x=2 Rightarrow x=log_{3/5}2$

Applicando la formula del cambiamento di base, si ottiene

$x=log_{3/5}2=(L og2)/(L og(3/5))=(L og2)/(L og3-L og5)$

Saluti.

[axpgn]

$3^x(1-3)=5^x(1-5)$

$-2*3^x\ =\ -4*5^x$

$3^x/5^x=(-4)/(-2)$

$(3/5)^x=2$

$x*ln(3/5)=ln2$

$x=Ln2/Ln(3/5)=ln2/(ln3-ln5)$

[Black Fox1]

Grazie mille ad entrambi!! Finalmente ho capito!

"alessandro8":Ciao.

Data l'equazione

$ 3^x(1-3)=5^x(1-5) Rightarrow -2*3^x=-4*5^x Rightarrow 3^x=2*5^x $

si ha

$ 3^x/5^x=2 Rightarrow (3/5)^x=2 Rightarrow x=log_{3/5}2 $

Applicando la formula del cambiamento di base, si ottiene

$ x=log_{3/5}2=(L og2)/(L og(3/5))=(L og2)/(L og3-L og5) $

Saluti.

"axpgn":$ 3^x(1-3)=5^x(1-5) $

$ -2*3^x\ =\ -4*5^x $

$ 3^x/5^x=(-4)/(-2) $

$ (3/5)^x=2 $

$ x*ln(3/5)=ln2 $

$ x=Ln2/Ln(3/5)=ln2/(ln3-ln5) $

[axpgn]

Grazie dei ringraziamenti ma perché hai quotato tutto? È completamente inutile ...

Cordialmente, Alex

[Sk_Anonymous]

"Black Fox":Grazie mille ad entrambi!! Finalmente ho capito!

Di nulla.

Saluti.