Dubbio su eqd a var. separabili
Ho un dubbio su un esempio del libro.
Ad un certo punto di un esempio di un'eqd. di Riccati trasformata in eqd. di Bernoulli, trovo scritto:
$(du)/dx = - (2u)/x - 1$
che è una eqd. a variabili separabili. Quindi nel libro compare l'eqd a var. separate:
$(du)/u = - (2dx)/x$, che poi viene integrata.
A me la separazione delle variabili non viene uguale.
Separando ottengo: $(du)/(2u+1) = - (dx)/x$.
Ho provato ad eliminare quel -1 dal'eqd di partenza: in questa maniera viene.
Non credo proprio che -1 venga eliminato come costante... o no? (adesso vengo lapidato!)
Qualcuno può offrirmi un suggerimento?
Grazie.
Ad un certo punto di un esempio di un'eqd. di Riccati trasformata in eqd. di Bernoulli, trovo scritto:
$(du)/dx = - (2u)/x - 1$
che è una eqd. a variabili separabili. Quindi nel libro compare l'eqd a var. separate:
$(du)/u = - (2dx)/x$, che poi viene integrata.
A me la separazione delle variabili non viene uguale.
Separando ottengo: $(du)/(2u+1) = - (dx)/x$.
Ho provato ad eliminare quel -1 dal'eqd di partenza: in questa maniera viene.
Non credo proprio che -1 venga eliminato come costante... o no? (adesso vengo lapidato!)
Qualcuno può offrirmi un suggerimento?
Grazie.
Risposte
"caffè":
Ho un dubbio su un esempio del libro.
Ad un certo punto di un esempio di un'eqd. di Riccati trasformata in eqd. di Bernoulli, trovo scritto:
$(du)/dx = - (2u)/x - 1$
che è una eqd. a variabili separabili. Quindi nel libro compare l'eqd a var. separate:
$(du)/u = - (2dx)/x$, che poi viene integrata.
Quindi $(du)/dx = - (2u)/x - 1 = a(u)b(x)$, per due opportune funzioni $a$ e $b$.
Chi sono?
"caffè":
A me la separazione delle variabili non viene uguale.
Separando ottengo: $(du)/(2u+1) = - (dx)/x$.
Ho provato ad eliminare quel -1 dal'eqd di partenza: in questa maniera viene.
Non credo proprio che -1 venga eliminato come costante... o no? (adesso vengo lapidato!)
I calcoli, supponendo che partano davvero da $(du)/dx = - (2u)/x - 1$, sono sbagliati. Sia sul libro che il tuo.
Riporto l'esercizio, indicando i miei dubbi.
Sia da risolvere: $(dy)/dx = y^2 - 2/x^2$
scegliamo la soluzione particolare $y_1 = 1/x$.
1) Ponendo $y = z + 1/x$, si ottiene:
2) $y' = z' - 1/x^2, z' - 1/x^2 = (z +1/x)^2 - 2/x^2$, o
3) $ z' = z^2 + 2 z/x$,
che è una equazione di Bernoulli.
4) $(z')/z^2 = (2/(xz)) +1, u=1/z, (du)/dx= -(z')/z^2$,
5) $(du)/dx = - (2u)/x - 1$,
6) $(du)/u = - (2dx)/x$,
7) $ln |u| = -2 ln |x| + ln c, u = c/(x^2)$
8) $u = (c(x))/x^2$
9) $(c'(x))/x^2 = -1, c(x) = -x^3/3 +c_1$
10) $u = c_1/x^2 - x/3, 1/z = c_1/x^2 - x/3$
da cui poi si ottiene, sostituendo z,
$y= 1/x + (3x^2)/(c_2-x^3).$
I miei dubbi:
a) non riesco a capire il passaggio tra 5 e 6. Non riesco a separare le variabili al secondo membro,
quell'uno mi rovina le feste, ho provato a sostituire $u/x = t$ ma viene un pasticcio;
b) il passaggio 9, dove effettua la derivazione di 8: perchè a secondo membro viene -1 invece di 1?
intanto grazie
Sia da risolvere: $(dy)/dx = y^2 - 2/x^2$
scegliamo la soluzione particolare $y_1 = 1/x$.
1) Ponendo $y = z + 1/x$, si ottiene:
2) $y' = z' - 1/x^2, z' - 1/x^2 = (z +1/x)^2 - 2/x^2$, o
3) $ z' = z^2 + 2 z/x$,
che è una equazione di Bernoulli.
4) $(z')/z^2 = (2/(xz)) +1, u=1/z, (du)/dx= -(z')/z^2$,
5) $(du)/dx = - (2u)/x - 1$,
6) $(du)/u = - (2dx)/x$,
7) $ln |u| = -2 ln |x| + ln c, u = c/(x^2)$
8) $u = (c(x))/x^2$
9) $(c'(x))/x^2 = -1, c(x) = -x^3/3 +c_1$
10) $u = c_1/x^2 - x/3, 1/z = c_1/x^2 - x/3$
da cui poi si ottiene, sostituendo z,
$y= 1/x + (3x^2)/(c_2-x^3).$
I miei dubbi:
a) non riesco a capire il passaggio tra 5 e 6. Non riesco a separare le variabili al secondo membro,
quell'uno mi rovina le feste, ho provato a sostituire $u/x = t$ ma viene un pasticcio;
b) il passaggio 9, dove effettua la derivazione di 8: perchè a secondo membro viene -1 invece di 1?
intanto grazie
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