Dubbio su due limiti 0/0 da risolvere con sviluppi di Taylor
Salve a tutti,
Ho un dubbio su due limiti da risolvere approssimandoli con la serie di Taylor. Non riesco a capire se faccio un qualche errore io (probabile) o se è errata la soluzione/il testo sul libro (e purtroppo quello della nostra prof di errori ne ha a milioni...).
Il primo, molto semplice, è questo:
$lim_(x->0)(e^(-2x)+ln(1+2x)-1)/x^3$
Sviluppando il tutto arrivo al risultato di: $lim_(x->0)(-8/6x^3+8/3x^3)/x^3$, e quindi il risultato di 8/6.
Sul libro, il risultato "ufficiale" è 4, e non riesco a capire da dove possa venire.
Secondo limite:
$lim_(x->0)(sin^2(x)-ln(1+x^2))/(xtg^3(x)-cosxarcsen^2(x^3))$
Qui il risultato dovrebbe venire 1/6. Non riesco però a semplificare il tutto, e mi rimane comunque un qualcosa diviso 0, mantenendo l'indecisione.
Quale aiuto?
Ho un dubbio su due limiti da risolvere approssimandoli con la serie di Taylor. Non riesco a capire se faccio un qualche errore io (probabile) o se è errata la soluzione/il testo sul libro (e purtroppo quello della nostra prof di errori ne ha a milioni...).
Il primo, molto semplice, è questo:
$lim_(x->0)(e^(-2x)+ln(1+2x)-1)/x^3$
Sviluppando il tutto arrivo al risultato di: $lim_(x->0)(-8/6x^3+8/3x^3)/x^3$, e quindi il risultato di 8/6.
Sul libro, il risultato "ufficiale" è 4, e non riesco a capire da dove possa venire.
Secondo limite:
$lim_(x->0)(sin^2(x)-ln(1+x^2))/(xtg^3(x)-cosxarcsen^2(x^3))$
Qui il risultato dovrebbe venire 1/6. Non riesco però a semplificare il tutto, e mi rimane comunque un qualcosa diviso 0, mantenendo l'indecisione.
Quale aiuto?
Risposte
Ti chiederei di postare gli sviluppi di Taylor che hai svolto...
Riguardo il primo:
$e^(-2x)=1-2x+2x^2-8/6x^3-...$
$ln(1+2x)=2x-2x^2+8/3x^3-...$
Per il secondo:
$sinx=x-1/(3!)x^3+1/(5!)x^5-...$
$ln(1+x^2)=x-1/2x^4+1/3x^6-1/4x^8+...$
$e^(-2x)=1-2x+2x^2-8/6x^3-...$
$ln(1+2x)=2x-2x^2+8/3x^3-...$
Per il secondo:
$sinx=x-1/(3!)x^3+1/(5!)x^5-...$
$ln(1+x^2)=x-1/2x^4+1/3x^6-1/4x^8+...$
Per il primo va bene 8/6, per il secondo va bene 1/6.
Per il secondo dovrai calcolare
$\sin^2 x=(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^2=x^2-x^4/3+o(x^4)$
mantenendo solo le potenze utili 8quelle troppo alte non è necessario inserirle. Stesso di scorso dovrai fare al denominatore con i prodotti.
$\sin^2 x=(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^2=x^2-x^4/3+o(x^4)$
mantenendo solo le potenze utili 8quelle troppo alte non è necessario inserirle. Stesso di scorso dovrai fare al denominatore con i prodotti.
"Quinzio":
Per il primo va bene 8/6, per il secondo va bene 1/6.
Ti ringrazio. Quindi il problema è nel libro, non mio.
"ciampax":
Per il secondo dovrai calcolare
$\sin^2 x=(x-x^3/6+x^5/120+o(x^5))^2=x^2-x^4/2+o(x^4)$
mantenendo solo le potenze utili 8quelle troppo alte non è necessario inserirle. Stesso di scorso dovrai fare al denominatore con i prodotti.
Qui invece non riesco a capire una cosa:
Considerando solo $sin^2x=(x-x^3/6)^2$ (in quanto elevare anche l'$x^5/120$ sarebbe inutile in quanto si supera di molto il grado, credo), il risultato sarebbe $sin^2x=x^2-2x^4/6+x^6/36$, o sbaglio? Il $x^4/2$ invece?
Riguardo il denominatore, non credo vadano usati gli sviluppi della tangente e dell'arcoseno (non ci sono neanche sul libro che ho io, né li abbiamo mai usati a lezione), e supponendo di prendere direttamente cosx = 1, il resto è tutto tramite asintotici. È giusto o c'è qualche sviluppo in più da inserire?
Corretto quel coefficiente. Per il denominatore, in effetti
$x \tan^3 x-\cos x\cdot\arcsin^2(x^3)\sim x\cdot x^3-1\cdot x^6\sim x^4$.
$x \tan^3 x-\cos x\cdot\arcsin^2(x^3)\sim x\cdot x^3-1\cdot x^6\sim x^4$.
"ciampax":
Corretto quel coefficiente. Per il denominatore, in effetti
$x \tan^3 x-\cos x\cdot\arcsin^2(x^3)\sim x\cdot x^3-1\cdot x^6\sim x^4$.
Perfetto grazie, alla fine il risultato è uscito (ero io che avevo sbagliato, infatti...):
$lim_(x->0)(x^2-2/6x^4+x^6/36-x^2+1/2x^4)/(x^4-x^6) = lim_(x->0)(-2/6x^4+1/2x^4)/x^4 = 1/6$
(piccola nota: qualche messaggio fa ho sbagliato lo sviluppo del ln(1+x^2), in quanto il primo termine è ovviamente x^2 e non x).
Grazie a tutti!
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