Dubbio su dominio regolare
Salve,
Non riesco a capire perchè la semi-corona circolare non è regolare rispetto all'asse delle $y$. In fondo riesco a suddividerla in domini più piccoli che non hanno punti interni in comune, no?
Non riesco a capire perchè la semi-corona circolare non è regolare rispetto all'asse delle $y$. In fondo riesco a suddividerla in domini più piccoli che non hanno punti interni in comune, no?
Risposte
Esplicita le definizioni, con precisione. Infatti le definizioni non sono universali e non si riesce a capire quale sia il tuo problema.
Volevo dire...
mi sembra che riesco a considerare la semi-corona come l'unione di un numero finito di domini che presi a due a due non hanno punti interni in comune.
mi sembra che riesco a considerare la semi-corona come l'unione di un numero finito di domini che presi a due a due non hanno punti interni in comune.
Ah certo. La semi corona è essa stessa un dominio, quindi è unione di una famiglia di domini costituita solo da se stessa. Una banalità, dici? Certo. Ma se tu non spieghi bene cosa stai cercando di fare, cosa vuoi dimostrare, e soprattutto che definizioni stai adottando...
No, banalità non tanto, però più che altro mi piacerebbe sapere quale potrebbe essere allora un dominio (cioè quale figura) che non posso considerare come unione di domini che hanno(*) a due a due punti interni comuni. 
EDIT: volevo dire "che hanno..."
EDIT: volevo dire "che hanno..."
Un dominio non connesso, per esempio. Che so, l'unione di due quadrati ben distanziati, uno di qua uno di là. Magari se spieghi cosa stai facendo, è meglio.
Quindi ad esempio se ho un dominio del tipo $D={(x,y)|x^2+y^2<=1}$ posso dire che è regolare ?
E dalle. Prima ti ho chiesto: "per favore puoi riportare la definizione di dominio regolare"? Lo hai fatto? Macché. Come si fa a rispondere a questa domanda se non si sa la definizione? E non è la prima volta che fai così. Mi ricordo ancora un tuo topic durato più giorni in cui fino all'ultimo non hai detto la definizione dell'oggetto in questione. E così si è parlato e straparlato per giorni in modo completamente inconsistente.
Vediamo di non ripetere di nuovo quell'esperienza. Per favore, scrivi qui la definizione di "dominio regolare". Con precisione. Grazie.
Vediamo di non ripetere di nuovo quell'esperienza. Per favore, scrivi qui la definizione di "dominio regolare". Con precisione. Grazie.
Una dice: Un dominio è regolare rispetto all'asse $x$ se è del tipo $D={(x,y)\in \mathbb{R}^2\ \ :\ a<=x<=b,\ \alpha (x)<=y<=\beta (x)}$ con $\alpha$ e $\beta$ derivabili su $[a,b]$ e analogalmente quando è regolare rispetto all'asse $y$.
Un'altra dice: Un dominio è regolare se è è per definizione l'unione di un numero finito di domini normali (rispetto a x o a y) regolari $D_1, D_2, . . . ,D_n$, a due a due privi di punti interni in comune.
e un'altra dice: Se D è un dominio regolare, la sua frontiera a D è unione di un numero finito di curve regolari a tratti
Un'altra dice: Un dominio è regolare se è è per definizione l'unione di un numero finito di domini normali (rispetto a x o a y) regolari $D_1, D_2, . . . ,D_n$, a due a due privi di punti interni in comune.
e un'altra dice: Se D è un dominio regolare, la sua frontiera a D è unione di un numero finito di curve regolari a tratti
Sei sicuro che nella prima definizione non ci fosse scritto "dominio normale"? Di solito si usa questa notazione. Con questa scrittura la seconda definizione ha senso: un dominio regolare è unione di un numero finito di domini normali. E infine, la terza non è una definizione, ma un teorema, come dovrebbe esserti chiaro: non vedi che c'è una implicazione?
Sì, la prima è di dominio regolare (Marcellini-Sbordone), la differenza con quello in cui il dominio è normale è che lì viene chiesto solo che le due funzioni siano continue, qui devono essere addirittura derivabili.
La terza sinceramente credevo fosse un'osservazione dato che nel suddetto testo non è espresso. Ne ho incontrate parecchie con il "Se".
Dimmi se sbaglio adesso: Un dominio come $D={x^2+y^2<=1}$ non può essere regolare perchè la sua frontiera è fatta da curve che hanno un numero infinito di punti in comune.
La terza sinceramente credevo fosse un'osservazione dato che nel suddetto testo non è espresso. Ne ho incontrate parecchie con il "Se".
Dimmi se sbaglio adesso: Un dominio come $D={x^2+y^2<=1}$ non può essere regolare perchè la sua frontiera è fatta da curve che hanno un numero infinito di punti in comune.
Ancora non hai chiarito con precisione quale definizione stai adottando. E infatti vedi a cosa vai incontro? Di tutti i domini possibili di $RR^2$, solo su uno qualsiasi autore sarà d'accordo nel chiamarlo "regolare" e questo è proprio quel dominio $D$ che hai lì. Quello infatti è il disco unitario: dire che "non può essere regolare" è sicuramente un errore.
Niente, devi prima di tutto mettere in chiaro cosa significa "dominio regolare". Autori diversi possono dare definizioni diverse: se tu hai seguito un corso, aderisci alla definizione che ti è stata fornita.
Niente, devi prima di tutto mettere in chiaro cosa significa "dominio regolare". Autori diversi possono dare definizioni diverse: se tu hai seguito un corso, aderisci alla definizione che ti è stata fornita.
Quindi vuoi dire che non posso usare due definizioni contemporaneamente?
Prendiamo la seconda. La semicorona circolare se la divido ad esempio in 2 settori questi non hanno punti interni in comune.
Prendiamo la seconda. La semicorona circolare se la divido ad esempio in 2 settori questi non hanno punti interni in comune.
Ok, finalmente. Quindi un dominio regolare è d'ora in poi una unione finita di domini normali, definiti da funzioni derivabili e a due a due privi di punti interni in comune. E allora la semicorona circolare è un dominio regolare.
Quello che la semicorona circolare NON è: non è un dominio normale rispetto ad un asse. Probabilmente l'autore che stai leggendo scambia i due aggettivi "normale" e "regolare", o più probabilmente ancora chi ha preso appunti a lezione si è confuso.
Quello che la semicorona circolare NON è: non è un dominio normale rispetto ad un asse. Probabilmente l'autore che stai leggendo scambia i due aggettivi "normale" e "regolare", o più probabilmente ancora chi ha preso appunti a lezione si è confuso.
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