Dubbio su Dominio di funzione

[malcon]

Salve, sto cercando di risolvere uno studio di funzione ma non capisco come calcolare il dominio di questa funzione.
$f(x)= (sqrt(|x+1|+x+1))/(x+2)$

per calcolare il dominio dovrei in questo caso considerare un sistema dove devo porre le seguenti equazioni:

$\{(x+2!=0),(|x+1|+x+1>0):}$

solo che ora mi viene il dubbio, nella seconda equazione dovrei comunque valutare entrambi i casi, quando il modulo è positivo e quando è negativo, spezzandola in due ulteriori equazioni, ma non son certo di come " valutare " la cosa, vi posto come lo penso io e ditemi se faccio bene o altrimenti ditemi come è giusto fare grazie.

valuto $|x+1|>0$ e quindi $x>(-1)$ e ottengo il sistema:
$\{(x!=-2),(x+1+x+1>0),(x>(-1)):}$ che mi viene alla fine $\{(x!=-2),(x>(-1)),(x>(-1)):}$ e la soluzione è: $x>(-1)$

ora valuto invece il caso $|x+1|<0$ e quindi $x<-1$ ottenendo il sistema:
$\{(x!=-2),(-x-1+x+1>0),(x<-1):}$ essendo la seconda non verificata in quanto $0>0$ non esiste non ha soluzione, deduco che forse il mio dominio a questo punto è $x>(-1)$ ? è giusto ?
domanda: in questo caso risolvendo cosi due sistemi dovrei alla fine considerare le soluzioni di entrambi i sistemi diciamo e quindi in questo caso non avendo soluzione il secondo prendo solo la soluzione del primo, ma se ne avesse avute anche il secondo avrei dovuto considerare l'unione delle soluzioni è cosi ?

grazie in anticipo

[theras]

Ciao!
Ne convieni del fatto che,indicato con D il dominio d'una arbitraria funzione h(x),si abbia $|h(x)|>=-h(x)$ $AAx$$inD$?
Pertanto cosa deduci della non negatività,in D,della somma h(x)+|h(x)|?
E se,giusto giusto,fosse $h(x)=x+1:RR->RR$?
Chiaro perchè,senza complicarti troppo la vita con sistemi assortiti che potrebbero indurti in errore
(e mi sà che l'han fatto!),
gli(/lo..) unici(/o..) punti(/o..) da escludere dal tuo dominio son quelli(/o..) t.c.x+2=0?
Saluti dal web.

[malcon]

ti ringrazio della risposta ma non credo di aver afferrato bene il metodo da te esposto, essendo abituato a calcolare le cose in altro modo questo tuo modo di vedere la cosa mi è totalmente nuovo, se mi facessi un esempio " pratico " usando il tuo metodo nella mia funzione risucirei a capirla meglio

[StefanoMDj]

Cerco di spiegarti con parole più semplici quanto detto da theras...se vedi sotto la radice quadrata hai tre elementi:
|x+1|
x
+1

il modulo, per sua proprietà, è sempre positivo,
+1 è sempre positivo
l'unico che può variare è "x"
se X è > 0 non ci sono problemi, tutto sotto radice è >0,invece se X è < 0 avrai quel -x che apparentemente potrebbe darti qualche fastidio...dico apparentemente percè se ci fai caso quel -x andrebbe ad annullarsi con il +x del modulo portanto solamente alla radice di 2
non è necessario studiare il numeratore essendo esso sempre maggiore di zero
meglio così?

[cappellaiomatto1]

quando osservi $sqrt(|x+1|+x+1)$ ti interessa sapere quando $|x+1|+x+1$ è maggiore o uguale a zero.
lo puoi fare in tanti modi,ma forse ti conviene tenere presente che
$|x+1|+x+1$ è uguale a $2x+2$ quando $x>=-1$ e $0$ quando $x<=-1$ (per definizione di valore assoluto) vedendo la funzione in questo modo si constata subito che è sempre maggiore o uguale a zero!quindi inserendo l'informazione che $x+2$ deve essere diverso da zero,ne consegue che il dominio è ogni $x inRR$ tranne $-2$

p.s. quindi il numeratore è sempre "non negativo",non positivo.Come richiede che sia l'argomento della radice.
ciao

[Gi81]

Ma scusate, non era cento volte più comodo esaminare a parte il numeratore?

Basta eliminare il valore assoluto considerenado i due sottocasi $x>= -1$ e $x<= -1$
$sqrt(|x+1|+x+1)={( sqrt(2x+2), \text{ se } x>= -1 ),( 0 , \text{ se } x< -1):}$

edit: anticipato

[malcon]

ecco ho letto le vostre risposte e capito meglio quello che intendeva theras pero vedo che comunque ci sono pareri diversi

@stefano
non è proprio come dici, almeno da quel che so della teoria, non posso considerare solo la x del modulo, ma tutto il modulo e vedere quando è maggiore e quando minore, quando è minore di $0$ non solo la $x$ cambia di segno ma anche il numero $1$,,quindi non rimane radice di 2 ma radice di 0, solo che dentro la mia testa pensavo non poterla accettare ho sbagliato qui come considerazione
comunque come lo hai detto tu ho capito meglio cosa intendesse dire theras, grazie mille

@ cappellaio matto
hai ragione ho sbagliato a considerare che quello sotto radice doveva essere solo maggiore di 0, mi è sfuggito che sotto radice puo anche esserci 0. grazie

ora riprovo a calcolare con queste osservazioni e a proseguire l'esercizio che di dubbi ne ho tanti ancora e dovro sicuramente postare ancora hehe

grazie delle risposte