Dubbio su derivazione in senso complesso

[marco.provitina]

Salve a tutti, ripassando gli appunti mi sono imbattuto in uno o due esempi sulla derivazione di funzioni complesse che non mi tornano.

Per esempio: Devo derivare f(z)= $ z^2 $ = $ (x+iy)^2 $ = $ x^2 - y^2 + 2xyi $
Vi posto una foto degli appunti, il mio dubbio sta nelle derivate parziali scritte a matita.
http://i62.tinypic.com/2429wyp.jpg

Abbiamo giustamente scritto la jacobiana, e abbiamo ricavato le derivate parziali $(delf)/(delx)$ e $(delf)/(dely)$.

Non mi torna però la derivata rispetto a y, non dovrebbe essere: $ -2y + 2ix $, piuttosto che $ -2iy +2x $ come ci ha fatto scrivere il professore? A parte il fatto che calcolando proprio la derivata parziale rispetto a y non viene come abbiamo scritto negli appunti, ma non rispetta nemmeno le condizioni di Cauchy-Reimann ( $ i (delf)/(delx)$ = $(delf)/(dely)$), mentre invece f(z)= $ z^2 $ dovrebbe essere olomorfa.

Grazie in anticipo per le risposte, spero di essermi spiegato

[Frink1]

La funzione è, come dici giustamente tu, olomorfa. Infatti detta

$ f(x+iy)=(x^2-y^2+i2xy)=(x^2-y^2,2xy) $

chiamiamo

$ F(x,y)={ ( u(x,y)=x^2-y^2 ),( v(x,y)=2xy ):} $

Avremo:

$ (delu)/(delx)(x,y)=2x, (delu)/(dely)=-2y $

$ (delv)/(delx)(x,y)=2y, (delv)/(dely)=2x $

Le condizioni di Cauchy-Riemann diventano ora:

$ (delu)/(delx)=(delv)/(dely) $

$ (delu)/(dely)=-(delv)/(delx) $

Il che rende la Jacobiana di $F(x,y)$ una composizione di rotazioni e omotetie, esattamente quanto ci serve per dichiarare la funzione $f(z)$ olomorfa.