Dubbio su derivata seconda
dalla funzione $ e^(-x^2+2x-1) $ ho calcolato la derivata prima $ y'=e^(-x^2+2x-1)(-2x+2) $ ,
ora devo trovare la derivata seconda che a me esce:
$ y'=e^(-x^2+2x-1)(-2x+2)(-2x+2)+e^(-x^2+2x-1) (-2) $
su walfram mi da come risultato finale sia questo che ho scritto ma anche $ y'=e^(-x^2+2x-1)(4x^2-8x+2) $
che sarebbe anche la soluzione finale già corretta,ma non capisco come si arriva a ottenere quel +2 nel polinomio
Grazie
ora devo trovare la derivata seconda che a me esce:
$ y'=e^(-x^2+2x-1)(-2x+2)(-2x+2)+e^(-x^2+2x-1) (-2) $
su walfram mi da come risultato finale sia questo che ho scritto ma anche $ y'=e^(-x^2+2x-1)(4x^2-8x+2) $
che sarebbe anche la soluzione finale già corretta,ma non capisco come si arriva a ottenere quel +2 nel polinomio
Grazie
Risposte
"yayalo17":
non capisco come si arriva a ottenere quel +2 nel polinomio
4-2=2
Ciao yayalo17,
Prima di avventarmi sui calcoli, avrei osservato che la funzione proposta si può scrivere nella forma seguente:
$y = f(x) = e^{−x^2+2x−1} = e^{−(x−1)^2} $
Si tratta della classica campana di Gauss traslata verso destra di $1$ per cui, prima ancora di calcolare la derivata prima, si sa già che il massimo della funzione si avrà per $t := x - 1 = 0 \implies x = 1 \implies M(1, 1) $
Poi si ha:
$ g(t) = e^{− t^2} $
$ g'(t) = - 2t e^{− t^2} $
$ g''(t) = (4 t^2 - 2) e^(-t^2) $
$g''(t) = 0 \implies 4t^2 - 2 = 0 \implies t_{1,2} = \pm sqrt2/2 \implies x_{1,2} = 1 \pm sqrt2/2 = (2 \pm sqrt2)/2 $
Naturalmente si sarebbe ottenuto lo stesso risultato anche considerando $y''(x) $:
$ y''(x) = 0 \implies (4x^2-8x+2)e^(-x^2+2x-1) = 0 \implies x^2 - 2x + 1/2 = 0 \implies $
$ \implies x_{1,2} = 1 \pm sqrt{1 - 1/2} = 1 \pm sqrt2/2 = (2 \pm sqrt2)/2 $
"yayalo17":
dalla funzione $e^{−x^2+2x−1} $ ho calcolato [...]
Prima di avventarmi sui calcoli, avrei osservato che la funzione proposta si può scrivere nella forma seguente:
$y = f(x) = e^{−x^2+2x−1} = e^{−(x−1)^2} $
Si tratta della classica campana di Gauss traslata verso destra di $1$ per cui, prima ancora di calcolare la derivata prima, si sa già che il massimo della funzione si avrà per $t := x - 1 = 0 \implies x = 1 \implies M(1, 1) $
Poi si ha:
$ g(t) = e^{− t^2} $
$ g'(t) = - 2t e^{− t^2} $
$ g''(t) = (4 t^2 - 2) e^(-t^2) $
$g''(t) = 0 \implies 4t^2 - 2 = 0 \implies t_{1,2} = \pm sqrt2/2 \implies x_{1,2} = 1 \pm sqrt2/2 = (2 \pm sqrt2)/2 $
Naturalmente si sarebbe ottenuto lo stesso risultato anche considerando $y''(x) $:
$ y''(x) = 0 \implies (4x^2-8x+2)e^(-x^2+2x-1) = 0 \implies x^2 - 2x + 1/2 = 0 \implies $
$ \implies x_{1,2} = 1 \pm sqrt{1 - 1/2} = 1 \pm sqrt2/2 = (2 \pm sqrt2)/2 $
"ghira":
[quote="yayalo17"]
non capisco come si arriva a ottenere quel +2 nel polinomio
4-2=2[/quote]
mi sono un pò impappinato sulla cosa,ma il -2 non andrebbe moltiplicato alla e?
$ -2e^(-x^2+2x-1) $
"yayalo17":
mi sono un pò impappinato sulla cosa,ma il -2 non andrebbe moltiplicato alla e?
$ −2e^{−x^2+2x−1} $
Che c'entra? Tutto è moltiplicato per $e^{−x^2+2x−1} $; riprendendo i calcoli da
"yayalo17":
$ y''= e^(-x^2+2x-1)(-2x+2)(-2x+2)+e^(-x^2+2x-1) (-2) $
si ottiene:
$ y'' = e^(-x^2+2x-1)[(-2x+2)(-2x+2)+ (- 2)] = e^(-x^2+2x-1) [4x^2 - 4x - 4x + 4 - 2] = $
$ = e^(-x^2+2x-1) (4x^2 - 8x + 2) $
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