Dubbio su derivabilità
se ad esempio ho la classica funzione $f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)$ per $(x,y)!=0$ e $f(x,y)=0$ per $(x,y)=0$
Si dimostra che la $f$ non è continua nell'origine prendendo ad esempio fasci di rette.Tuttavia è derivabile,ed è qui il dubbio atroce,per quanto possa sembrare banale,
cio' che è derivabile è $ f(x,y)={ ( (xy)/(x^2+y^2) ),( 0 ):} $
non semplicemente
$g(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)$ ,giusto?
perche' la derivata parziale di $(xy)/(x^2+y^2)$ rispetto a $x$ è $(y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)$ che non è definita in $(0,0)$
però usando il rapporto incrementale $lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h=0$ ma perche' è stato definito che $f(0,0)=0$
con la $g$ non avrebbe funzionato vero?
questo significa che usando le regole di derivazione invece del rapporto incrementale la derivata parziale di $f$ rispetto ad $x$ andrebbe scritta
$f_x(x,y)={ ( (y(y^2-x^2))/(x^2+y^2) ),( 0 ):}$ ?
altrimenti non esisterebbe in $(0,0)$,no?
Si dimostra che la $f$ non è continua nell'origine prendendo ad esempio fasci di rette.Tuttavia è derivabile,ed è qui il dubbio atroce,per quanto possa sembrare banale,
cio' che è derivabile è $ f(x,y)={ ( (xy)/(x^2+y^2) ),( 0 ):} $
non semplicemente
$g(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)$ ,giusto?
perche' la derivata parziale di $(xy)/(x^2+y^2)$ rispetto a $x$ è $(y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)$ che non è definita in $(0,0)$
però usando il rapporto incrementale $lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h=0$ ma perche' è stato definito che $f(0,0)=0$
con la $g$ non avrebbe funzionato vero?
questo significa che usando le regole di derivazione invece del rapporto incrementale la derivata parziale di $f$ rispetto ad $x$ andrebbe scritta
$f_x(x,y)={ ( (y(y^2-x^2))/(x^2+y^2) ),( 0 ):}$ ?
altrimenti non esisterebbe in $(0,0)$,no?
Risposte
Ciao amico di Alice
mi fai vedere come hai ottenuto quella derivata?
"cappellaiomatto":
se ad esempio ho la classica funzione $f(x,y)=(xy)/(x^2+y^2)$ per $(x,y)!=0$ e $f(x,y)=0$ per $(x,y)=0$
la derivata parziale di $(xy)/(x^2+y^2)$ rispetto a $x$ è $(y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)$
mi fai vedere come hai ottenuto quella derivata?
Ciao!
be in effetti è sbagliata,ho dimenticato di mettere il denominatore al quadrato;
la derivata di $(xy)/(x^2+y^2)$ rispetto a $x$ ponendo $y$ come costante è uguale a
$(y*(x^2+y^2)-(2x^2)*y)/(x^2+y^2)^2$
$ = (y(x^2+y^2-2x^2))/(x^2+y^2)^2 = (y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2$
per il resto avrei ancora gli stessi dubbi...
be in effetti è sbagliata,ho dimenticato di mettere il denominatore al quadrato;
la derivata di $(xy)/(x^2+y^2)$ rispetto a $x$ ponendo $y$ come costante è uguale a
$(y*(x^2+y^2)-(2x^2)*y)/(x^2+y^2)^2$
$ = (y(x^2+y^2-2x^2))/(x^2+y^2)^2 = (y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2$
per il resto avrei ancora gli stessi dubbi...
Ciao Cappellaio matto, a me piace abbastanza immaginare l'aspetto che ha il grafico di una funzione in due variabili, poi rifletto sul resto.
Per quanto riguarda la tua funzione, mi pare che valga 0 lungo gli assi coordinati, sia positiva nel I e III quadrante e negativa negli altri, penso anche che sia limitata superiormente $+1/2$, valore che viene raggiunto in corrispondenza della bisettrice I e III, e limitata inferiormente $-1/2$, in corrispondenza della bisettrice II e IV.
In effetti mi pare che non sia continua nell'origine.
In relazione alla "derivabilità" mi domando se per le funzioni in due variabili si possa ragionare come per quelle in una variabile.
Mi spiego: tu fai il rapporto incrementale, ma sta bene se ci muoviamo su un grafico unidimensionale, posso discostarmi da un punto in avanti o indietro lungo una direzione, ma se ho un grafico bidimensionale bisognerà che mi domandi che cosa succede intorno al punto, non solo lungo una direzione, penso si parli di "differenziabilità" invece che "derivabilità". Puoi controllare su tuo libro?
A risentirci amico di Alice.
Per quanto riguarda la tua funzione, mi pare che valga 0 lungo gli assi coordinati, sia positiva nel I e III quadrante e negativa negli altri, penso anche che sia limitata superiormente $+1/2$, valore che viene raggiunto in corrispondenza della bisettrice I e III, e limitata inferiormente $-1/2$, in corrispondenza della bisettrice II e IV.
In effetti mi pare che non sia continua nell'origine.
In relazione alla "derivabilità" mi domando se per le funzioni in due variabili si possa ragionare come per quelle in una variabile.
Mi spiego: tu fai il rapporto incrementale, ma sta bene se ci muoviamo su un grafico unidimensionale, posso discostarmi da un punto in avanti o indietro lungo una direzione, ma se ho un grafico bidimensionale bisognerà che mi domandi che cosa succede intorno al punto, non solo lungo una direzione, penso si parli di "differenziabilità" invece che "derivabilità". Puoi controllare su tuo libro?
A risentirci amico di Alice.
La derivata che ho ottenuto è una derivata parziale rispetto ad $x$,analogamente posso scrivere la derivata parziale risp. ad $y$
Si dice che una funzione $f:AsubeRR^2->RR$ è derivabile in $(x,y)$,nel nostro caso la singolarità (unica) è in $(0,0)$,se esistono entrambe le derivate parziali $f_x$,$f_y$ in quel punto.Ovvero esistono i limiti dei rapporti incrementali
$lim_(h->0)(f(h+0,0)-f(0,0))/h$ ed $lim_(h->0)(f(0,h+0)-f(0,0))/h$
questa è la def di derivabilità,diversa dalla differenziabilità legata alla generalizzazione della derivabilità nel caso unidimensionale e quindi alla relazione di piano tangente.La differenziabilità infatti implica oltre alla derivabilità la continuità,cosa che la derivabilità non fa.
Infatti l'esercizio in questione ha come risultato che la $f$ è:
1.non continua
2.non differenziabile
3.è derivabile
Infatti la derivabilità si evince dal fatto che il limite $lim_(h->0)(f(h+0,0)-f(0,0))/h$ esiste e vale zero,ugualmente per $lim_(h->0)(f(0,h+0)-f(0,0))/h$ (e il fatto che i limiti siano uguali o diversi non conta credo) e fin qui ci siamo.
Solo che una conferma di questo deve essere data anche dall'osservazione della derivata parziale (ad esempio $f_x$) nella sua forma generica in tutti i punti che è $f_x=(y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2$
dove in $(0,0)$ non è definita,e inoltre non ha neanche limite zero per $(x,y)->(0,0)$,quindi non è continua in $(0,0)$.
Quindi il problema sarebbe capire come guardare la relazione del rapporto incrementale con la forma ottenuta utilizzando le regole di derivazione(parziale)
edit. Forse la risposta a tutto questo è proprio il fatto che la $f$ valga zero sugli assi coordinati...
Si dice che una funzione $f:AsubeRR^2->RR$ è derivabile in $(x,y)$,nel nostro caso la singolarità (unica) è in $(0,0)$,se esistono entrambe le derivate parziali $f_x$,$f_y$ in quel punto.Ovvero esistono i limiti dei rapporti incrementali
$lim_(h->0)(f(h+0,0)-f(0,0))/h$ ed $lim_(h->0)(f(0,h+0)-f(0,0))/h$
questa è la def di derivabilità,diversa dalla differenziabilità legata alla generalizzazione della derivabilità nel caso unidimensionale e quindi alla relazione di piano tangente.La differenziabilità infatti implica oltre alla derivabilità la continuità,cosa che la derivabilità non fa.
Infatti l'esercizio in questione ha come risultato che la $f$ è:
1.non continua
2.non differenziabile
3.è derivabile
Infatti la derivabilità si evince dal fatto che il limite $lim_(h->0)(f(h+0,0)-f(0,0))/h$ esiste e vale zero,ugualmente per $lim_(h->0)(f(0,h+0)-f(0,0))/h$ (e il fatto che i limiti siano uguali o diversi non conta credo) e fin qui ci siamo.
Solo che una conferma di questo deve essere data anche dall'osservazione della derivata parziale (ad esempio $f_x$) nella sua forma generica in tutti i punti che è $f_x=(y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2$
dove in $(0,0)$ non è definita,e inoltre non ha neanche limite zero per $(x,y)->(0,0)$,quindi non è continua in $(0,0)$.
Quindi il problema sarebbe capire come guardare la relazione del rapporto incrementale con la forma ottenuta utilizzando le regole di derivazione(parziale)
edit. Forse la risposta a tutto questo è proprio il fatto che la $f$ valga zero sugli assi coordinati...
"cappellaiomatto":
Infatti l'esercizio in questione ha come risultato che la $f$ è:
1.non continua
2.non differenziabile
3.è derivabile
Infatti la derivabilità si evince dal fatto che il limite $lim_(h->0)(f(h+0,0)-f(0,0))/h$ esiste e vale zero,ugualmente per $lim_(h->0)(f(0,h+0)-f(0,0))/h$ (e il fatto che i limiti siano uguali o diversi non conta credo) e fin qui ci siamo.
E invece no
La funzione $(xy)/(x^2+y^2)$ è sicuramente definita in tutto $\mathbb{R}^2$ eccetto nell'origine.
Hai controllato se la funzione è prolungabile per continuità in $(0,0)$ e giustamente hai affermato di no. Perciò, se la funzione non è continua in quel punto, a maggior ragione non è differenziabile in quel punto, e se non è differenziabile in quel punto allora non è nemmeno derivabile in quel punto!
Le derivate parziali che hai calcolato hanno senso solo per $(x,y)\ne (0,0)$: poiché esse sono continue nel dominio, allora la funzione è differenziabile nello stesso dominio.
NB: $\lim_(h \to 0) (f(h,0)-f(0,0))/h$ e $\lim_(k \to 0) (f(0,k)-f(0,0))/k$ non le puoi calcolare, proprio perché $f(0,0)$ non esiste!
EDIT: intendendo ovviamente che $f(0,0)=\lim_((x,y)\to(0,0)) (xy)/(x^2+y^2)= \text{non esiste}$
Ciao Branca, grazie per il tuo intervento.
Non ho difficoltà ad ammettere la mia ignoranza (sic!), quel che mi pare di aver capito l'ho esposto, ma non so quale significato abbia l'aggettivo "Derivabile" rispetto a funzioni in più variabili, se potete illuminatemi: a questo punto mi interessa.
Non ho difficoltà ad ammettere la mia ignoranza (sic!), quel che mi pare di aver capito l'ho esposto, ma non so quale significato abbia l'aggettivo "Derivabile" rispetto a funzioni in più variabili, se potete illuminatemi: a questo punto mi interessa.
Secondo me ti sbagli Brancaleone! Vorrei però l'intervento di un terzo... anche perché sono un informatico e siamo una brutta razza!
La non differenziabilità in un punto non implica la non derivabilità in quel punto, quindi la funzione in questione (quella definita a tratti) è: non continua in (0,0), derivabile in (0,0) e non differenziabile in (0,0).
Perché quando derivi una funzione definita a tratti devi derivare anche il tratto costante, quindi $f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$.
Giusto? Scusate se è un intervento inopportuno ma saranno i 33 gradi che ho in casa!
La non differenziabilità in un punto non implica la non derivabilità in quel punto, quindi la funzione in questione (quella definita a tratti) è: non continua in (0,0), derivabile in (0,0) e non differenziabile in (0,0).
Perché quando derivi una funzione definita a tratti devi derivare anche il tratto costante, quindi $f_x(0,0) = f_y(0,0) = 0$.
Giusto? Scusate se è un intervento inopportuno ma saranno i 33 gradi che ho in casa!
"syxvicious":
Scusate se è un intervento inopportuno ma saranno i 33 gradi che ho in casa!
Ciao Syxvicious, il tuo intervento non è inopportuno: ci divertiamo proprio quando discutiamo.
Mi sembra che nessuno di noi sia in contrasto su come sia fatta e quali caratteristiche ha la nostra funzione, secondo me la questione sta nel definire cosa significhi la funzione è derivabile in un punto.
Se non sbaglio "tagliando" il grafico della nostra funzione con il piano $xz$ o il piano $yz$ ottengo delle rette continue, ma se lo affetto con altri piani perpendicolari al piano $xy$ passanti per $O(0;0)$ trovo una discontinuità in corrispondenza dell'origine.
"syxvicious":
La non differenziabilità in un punto non implica la non derivabilità in quel punto
E' questo ciò di cui non riesco a convincermi.
Io l'ho sempre saputa così:
Condizione necessaria di differenziabilità: se una funzione $f(x,y)$ in un punto $(x_0,y_0)$ è differenziabile allora possiede entrambi le derivate parziali nel punto.
$f \text{differenziabile} \Rightarrow f \text{derivabile}$
Condizione sufficiente di differenziabiltà: se una funzione $f(x,y)$ possiede derivate parziali che esistono in un intorno di $(x_0, y_0)$ e sono continue in $(x_0, y_0)$, allora la funzione è differenziabile in $(x_0,y_0)$.
$f \text{derivabile con continuità} \Rightarrow f \text{differenziabile}$
Prendendo la sola condizione necessaria: una funzione non derivabile non è differenziabile (perché se fosse differenziabile allora sarebbe derivabile). Quindi la non differenziabilità implica la non derivabilità.
Per Brancaleone
Le implicazioni logiche che hai usato sulla derivabilità sono false,perche' nel caso di un dominio non monodimensionale la cosa funziona diversamente,di seguito ti riporto le implicazioni corrette,che si dimostrano e sono prese pari pari dal Gilardi,ma si trovano in tutti i libri.
Caso $f:RR->RR^m$
differenziabile$hArr $ derivabile
derivabile$rArr $continua e non viceversa
differenziabile$rArr $continua e non viceversa
Infatti nel caso monodimensionale dire derivabilità o differenziabilità è uguale
Caso $f:RR^n->RR^m$ con $n>1$
diff$rArr $deriv
diff$rArr$ continua
Non esistono viceversa
La derivabilità nel caso generico $f:RR^n->RR^m$ non c'entra con la differenziabilità perche' mentre nel caso $n=1$ basta a stabilire l'esistenza di un polinomio di taylor che approssima una funzione,negli altri casi no,quindi la differenziabilità è un concetto piu' forte della derivabilità,che se non esiste non pregiudica l'esistenza delle derivate parziali e quindi della derivabilità
So che le soluzioni spesso si snobbano,ma c'è da dire che l'esercizio in questione vuole testare proprio questa conoscenza e ti va a prendere una $f$ che è proprio
non continua in $(0,0)$
non differenziabile in $(0,0)$
ma derivabile in $(0,0)$
Ora perche' la $f$ è derivabile in $(0,0)$? perche' esistono entrambe le derivate parziali in quel punto,infatti ad esempio se voglio vedere la derivata rispetto ad $x$,ho che la funzione essendo definita in questo modo
$ f(x,y)={ ( (xy)/(x^2+y^2),(x,y)!=0),( 0, (x,y)=(0,0) ):} $
$f(0,0)$ esiste eccome e vale zero (anche se ovviamente non è continua,quindi ha senso il limite del rapporto
$lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h=lim_(h->0)(f(0+h,0)-0)/h$
$=lim_(h->0)((h*0)/h^2)=0$
Le implicazioni logiche che hai usato sulla derivabilità sono false,perche' nel caso di un dominio non monodimensionale la cosa funziona diversamente,di seguito ti riporto le implicazioni corrette,che si dimostrano e sono prese pari pari dal Gilardi,ma si trovano in tutti i libri.
Caso $f:RR->RR^m$
differenziabile$hArr $ derivabile
derivabile$rArr $continua e non viceversa
differenziabile$rArr $continua e non viceversa
Infatti nel caso monodimensionale dire derivabilità o differenziabilità è uguale
Caso $f:RR^n->RR^m$ con $n>1$
diff$rArr $deriv
diff$rArr$ continua
Non esistono viceversa
La derivabilità nel caso generico $f:RR^n->RR^m$ non c'entra con la differenziabilità perche' mentre nel caso $n=1$ basta a stabilire l'esistenza di un polinomio di taylor che approssima una funzione,negli altri casi no,quindi la differenziabilità è un concetto piu' forte della derivabilità,che se non esiste non pregiudica l'esistenza delle derivate parziali e quindi della derivabilità
So che le soluzioni spesso si snobbano,ma c'è da dire che l'esercizio in questione vuole testare proprio questa conoscenza e ti va a prendere una $f$ che è proprio
non continua in $(0,0)$
non differenziabile in $(0,0)$
ma derivabile in $(0,0)$
Ora perche' la $f$ è derivabile in $(0,0)$? perche' esistono entrambe le derivate parziali in quel punto,infatti ad esempio se voglio vedere la derivata rispetto ad $x$,ho che la funzione essendo definita in questo modo
$ f(x,y)={ ( (xy)/(x^2+y^2),(x,y)!=0),( 0, (x,y)=(0,0) ):} $
$f(0,0)$ esiste eccome e vale zero (anche se ovviamente non è continua,quindi ha senso il limite del rapporto
$lim_(h->0)(f(0+h,0)-f(0,0))/h=lim_(h->0)(f(0+h,0)-0)/h$
$=lim_(h->0)((h*0)/h^2)=0$
"cappellaiomatto":
Caso $f:RR->RR^m$
differenziabile$hArr $ derivabile
derivabile$rArr $continua e non viceversa
differenziabile$rArr $continua e non viceversa
Infatti nel caso monodimensionale dire derivabilità o differenziabilità è uguale
Caso $f:RR^n->RR^m$ con $n>1$
diff$rArr $deriv
diff$rArr$ continua
Non esistono viceversa
La derivabilità nel caso generico $f:RR^n->RR^m$ non c'entra con la differenziabilità perche' mentre nel caso $n=1$ basta a stabilire l'esistenza di un polinomio di taylor che approssima una funzione,negli altri casi no,quindi la differenziabilità è un concetto piu' forte della derivabilità
Ok
"cappellaiomatto":
che se non esiste non pregiudica l'esistenza delle derivate parziali e quindi della derivabilità
So che le soluzioni spesso si snobbano,ma c'è da dire che l'esercizio in questione vuole testare proprio questa conoscenza e ti va a prendere una $f$ che è proprio
non continua in $(0,0)$
non differenziabile in $(0,0)$
ma derivabile in $(0,0)$
Ehm... mmh... devo dire che mi sento colpito e affondato!
Controllando i miei appunti in effetti non ho trovato nulla a sostegno della mia tesi...
"Brancaleone":[/quote]
[quote="cappellaiomatto"]
Ehm... mmh... devo dire che mi sento colpito e affondato!
Sono lieto di aver approfondito insieme la cosa.
Comunque per concludere il post,il problema che mi ero posto era la relazione tra il rapporto incrementale e le regole di derivazione e il mio sbaglio è sorto nello scrivere la derivata parziale di una funzione $f:RR^2->RR$ definita:
$(xy)/(x^2+y^2)$ per $\mathbf{x}!=0$ e nulla per $\mathbf{x}=0$
come
$(df(\mathbf{x}))/(dx)=(y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2$ che non è corretta!
Mentre le derivate parziali $(df(\mathbf{x}))/(dx)$ e $(df(\mathbf{x}))/(dy)$ sono rispettivamente
$(y(y^2-x^2))/(x^2+y^2)^2$ per $\mathbf{x}!=0$ ; $0$ per $\mathbf{x}=0$
e
$(x(x^2-y^2))/(x^2+y^2)^2$ per $\mathbf{x}!=0$ ; $0$ per $\mathbf{x}=0$
In questo modo cio' che è stato verificato col rapporto incrementale si verifica anche con le regole di derivazione e tutto torna
(salvo ulteriori mie inconsapevolezze)
"gio73":
Potremmo provare a ragionare su questo esercizio proposto da syx, mi sembra attinente...
Dove ho scritto una ca....ta pazzesca.
Però dai, mi sembra che ci siamo chiariti tutti le idee.
Grazie cappellaio per il riassunto delle implicazioni!
"gio73":
Potremmo provare a ragionare su questo esercizio proposto da syx, mi sembra attinente...
E' il tipo di esercizio già sperimentato,conviene limitarsi a scrivere il rapporto incrementale che ha limite finito,sia incrementando $x$ che $y$
Potremmo fare questo che sembra rognoso
Studiare la continuità,l'esistenza delle derivate parziali prime e la differenziabilità in $RR^2$ della funzione
$f(x,y)=|y|(y-1)arctan(1/x)$ per $x!=0$ e nulla in $x=0$
Intanto posto la dubbiosa continuità:
derivabilità:
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