Dubbio su delta di Dirac
Ciao a tutti
spero di non aver sbagliato sezione altrimenti stavolta gugo82 mi pettina!!!
ho un dubbio su una dimostrazione relativa alla delta di Dirac
sto cercando di seguire i passaggi che mi dimostrano che [tex]\frac{d}{dx} \delta(x) = (-1)^{k} \delta(x) \frac{d}{dx}[/tex]
in parte sto facendo questa dimostrazione per conto mio e in parte seguo alcuni passaggi che ho trovato in internet.
ho iniziato prendendo una funzione di prova $g(x)$ e facendo l'integrale su tutto $\mathbb{R}$ ovvero
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dx} \delta(x) \cdot g(x) dx[/tex]
visto che ho una derivata nella funzione integranda ho pensato di "risolvere" questo integrale per parti ottenendo
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dx} \delta(x) \cdot g(x) dx = \Bigr( \delta (x) g(x)\Bigr)_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x) \cdot \frac{d}{dx} g(x) dx[/tex]
a questo punto mi sono un po' perso e sono andato a sbirciare in internet, ho visto che fino a qui il mio ragionamento fila, ma poi leggo che il termine [tex]\Bigr( \delta (x) g(x)\Bigr)_{-\infty}^{\infty}[/tex] si annulla per la definizione della delta di Dirac.
Mi sta bene che la delta di Dirac sia nulla su tutto $\mathbb{R}$ tranne che in $0$ dove vale $\infty$, quindi se moltiplico la funzione $g(x)$ per la delta, risultato sarebbe ovunque zero tranne che in $x=0$ dove dovrebbe valere infinito. Se il mio ragionamento è corretto come posso dire che il termine [tex]\Bigr( \delta (x) g(x)\Bigr)_{-\infty}^{\infty}[/tex] si annulla? si annullerà ovunque tranne che in 0. Dico bene?
grazie a tutti
spero di non aver sbagliato sezione altrimenti stavolta gugo82 mi pettina!!!
ho un dubbio su una dimostrazione relativa alla delta di Dirac
sto cercando di seguire i passaggi che mi dimostrano che [tex]\frac{d}{dx} \delta(x) = (-1)^{k} \delta(x) \frac{d}{dx}[/tex]
in parte sto facendo questa dimostrazione per conto mio e in parte seguo alcuni passaggi che ho trovato in internet.
ho iniziato prendendo una funzione di prova $g(x)$ e facendo l'integrale su tutto $\mathbb{R}$ ovvero
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dx} \delta(x) \cdot g(x) dx[/tex]
visto che ho una derivata nella funzione integranda ho pensato di "risolvere" questo integrale per parti ottenendo
[tex]\int_{-\infty}^{\infty} \frac{d}{dx} \delta(x) \cdot g(x) dx = \Bigr( \delta (x) g(x)\Bigr)_{-\infty}^{\infty} - \int_{-\infty}^{\infty}\delta(x) \cdot \frac{d}{dx} g(x) dx[/tex]
a questo punto mi sono un po' perso e sono andato a sbirciare in internet, ho visto che fino a qui il mio ragionamento fila, ma poi leggo che il termine [tex]\Bigr( \delta (x) g(x)\Bigr)_{-\infty}^{\infty}[/tex] si annulla per la definizione della delta di Dirac.
Mi sta bene che la delta di Dirac sia nulla su tutto $\mathbb{R}$ tranne che in $0$ dove vale $\infty$, quindi se moltiplico la funzione $g(x)$ per la delta, risultato sarebbe ovunque zero tranne che in $x=0$ dove dovrebbe valere infinito. Se il mio ragionamento è corretto come posso dire che il termine [tex]\Bigr( \delta (x) g(x)\Bigr)_{-\infty}^{\infty}[/tex] si annulla? si annullerà ovunque tranne che in 0. Dico bene?
grazie a tutti
Risposte
stai attento che l'apice e pedice + e - infty indicano che valuti l'espressione tra parentesi nei punti + e - infty. la delta di dirac può essere approssimata con un impulso rect di altezza infinita e base tendente a 0, quindi a + e - infty il rect (la delta) vale 0, dunque anche il prodotto $delta(x)g(x)$
è buffo ma quando ho studiato questa dimostrazione mi ero incartato anch'io su questo particolare!
è buffo ma quando ho studiato questa dimostrazione mi ero incartato anch'io su questo particolare!
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