Dubbio su definizione di esponenziale.
È una sottigliezza che mi è rimasta dal giorno in cui in corso ci hanno definito l'esponenziale,
Hanno definito in questo modo:
Definiamo l'esponenziale \( \exp(x)=e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \), per \( x \in \mathbb{R} \)
[...]
Definiamo la funzione inversa dell esponenziale \( \ln \) come
\( \ln : \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R}\);
\( \ln(x)=y \Leftrightarrow \exp(y)=x \)
[...]
Questo ci permette di definire la funzione \( f_{\alpha} \) potenza, con \( \alpha \in \mathbb{R} \)
\( f_{\alpha} : \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R} \),
\( f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}=\exp(\alpha \ln(x)) \)
Tutto chiaro! L'unica cosa che mi lascia un po' perplesso nel modo in cui ci hanno definito le cose è l'ordine. Mi definisce \( \exp(x) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) ma il termine \( x^n \) è definito a partire da \( \exp(x) \) quindi questo oggetto "non esiste" senza la definizione di \( \exp(x) \) ma per definirlo (così come ce lo hanno definito a noi, sia chiaro ci sono mille altri modi) ho bisogno della funzione potenza che definisce a partire dall esponenziale. Non dovrebbe prima definirmi \( f_{n} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) con \( n \in \mathbb{N} \) come la funzione \( f_{n}(x) = x^{n}= x \cdot \ldots \cdot x \),
\(n \)- volte, per potermi definire l'esponenziale e poi potermi definire la funzione potenza con esponente reale?
Cioé la mia domanda è, posso parlare dell'oggetto \( x^n \) nella definizione di \( \exp(x) \) senza prima averne dato una definizione? Grazie.
Hanno definito in questo modo:
Definiamo l'esponenziale \( \exp(x)=e^x=\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \), per \( x \in \mathbb{R} \)
[...]
Definiamo la funzione inversa dell esponenziale \( \ln \) come
\( \ln : \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R}\);
\( \ln(x)=y \Leftrightarrow \exp(y)=x \)
[...]
Questo ci permette di definire la funzione \( f_{\alpha} \) potenza, con \( \alpha \in \mathbb{R} \)
\( f_{\alpha} : \mathbb{R}_{+}^{*} \rightarrow \mathbb{R} \),
\( f_{\alpha}(x)=x^{\alpha}=\exp(\alpha \ln(x)) \)
Tutto chiaro! L'unica cosa che mi lascia un po' perplesso nel modo in cui ci hanno definito le cose è l'ordine. Mi definisce \( \exp(x) =\sum\limits_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \) ma il termine \( x^n \) è definito a partire da \( \exp(x) \) quindi questo oggetto "non esiste" senza la definizione di \( \exp(x) \) ma per definirlo (così come ce lo hanno definito a noi, sia chiaro ci sono mille altri modi) ho bisogno della funzione potenza che definisce a partire dall esponenziale. Non dovrebbe prima definirmi \( f_{n} : \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R} \) con \( n \in \mathbb{N} \) come la funzione \( f_{n}(x) = x^{n}= x \cdot \ldots \cdot x \),
\(n \)- volte, per potermi definire l'esponenziale e poi potermi definire la funzione potenza con esponente reale?
Cioé la mia domanda è, posso parlare dell'oggetto \( x^n \) nella definizione di \( \exp(x) \) senza prima averne dato una definizione? Grazie.
Risposte
Ti rispondo con un certa fretta.
Non definisci le potenze ad esponente intero/razionale a partire dall'esponenziale, le definisci come ti è sempre stato detto: (se \( x\neq 0 \), \( n\geqq 0 \)) \( x^n:=\prod_{i=1}^n{x} \), ecc... Le proprietà dell'esponenziale (omomorfismo, altre) ti permettono di ricavare che, per \( x \) razionale e base \( a>0 \), sia \( \exp_a\left(x\right)=a^x \), dove con \( a^x \) indico, se \( x=p/q \), con \( p \) e \( q\neq 0 \) interi, il reale \( \sqrt
Non definisci le potenze ad esponente intero/razionale a partire dall'esponenziale, le definisci come ti è sempre stato detto: (se \( x\neq 0 \), \( n\geqq 0 \)) \( x^n:=\prod_{i=1}^n{x} \), ecc... Le proprietà dell'esponenziale (omomorfismo, altre) ti permettono di ricavare che, per \( x \) razionale e base \( a>0 \), sia \( \exp_a\left(x\right)=a^x \), dove con \( a^x \) indico, se \( x=p/q \), con \( p \) e \( q\neq 0 \) interi, il reale \( \sqrt
{x^q} \).
Questo è ovviamente il motivo per cui ha un qualche senso definire le potenze ad esponente reale dall'esponenziale.
D'altronde puoi anche definire le potenze ad esponente reale (e base positiva) come particolari tagli di Dedekind, e da lì farti l'esponenziale. È la stessa cosa più o meno.
Spero di aver risposto correttamente alla tua domanda.
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