Dubbio su definizione continuità della funzione?

[Omi1]

Buonasera a tutti, chiedo a voi esperti chiarimenti riguardo la condizione sufficiente di continuità, in particolare so che una funzione è continua se $ AA tau $ $ EE delta $ : $ |x-x_0| Questa condizione si può esprimere anche come f è continua in $ x_0 rArr $ $ lim_(x -> x_0) f(x)=f(x_0) $
E qui mi vengono i dubbi, perchè affinché f sia continua allora o vale la definizione o il limite, quindi il limite è condizione sufficiente per la continuità. Questo significa che il limite potrebbe comunque valere, ma potrebbe non valere la continuità?

[SwitchArio]

Ti invito a osservare che $ AA tau\ EE delta : |x-x_0| x_0) f(x)=f(x_0) $,
infatti le due scritture sono equivalenti, in quanto la prima scrittura è uguale alla seconda ma scritta usando la definizione di limite invece della notazione compatta: $ lim_(x -> x_0)\cdots$.

"Omi":
E qui mi vengono i dubbi, perchè affinché f sia continua allora o vale la definizione o il limite, quindi il limite è condizione sufficiente per la continuità.

è anche condizione necessaria, infatti le due scritture sono equivalenti

"Omi":
Questo significa che il limite potrebbe comunque valere, ma potrebbe non valere la continuità?

No, l'argomentazione è la stessa, le due scritture sono equivalenti, dunque il limite è condizione necessaria per la continuità

[gabriella127]

La differenza tra le due definizioni è che la seconda definizione, quella con il limite, vale solo se il punto $x_0$ è di accumulazione (perché parliamo di limiti).
La prima definizione invece vale anche se il punto $x_0$ è un punto isolato.
Se $x_0$ è di accumulazione le due definizioni coincidono.

Quindi una funzione può essere continua anche in un punto non di accumulazione: una funzione in un punto isolato è contiinua, anche ad esempio una funzione definita in un solo punto è continua.