Dubbio su definizione 1-distanza e n-distanza

[giuggiolo1]

Ciao a tutti!

Ho le seguent definizioni di 1-distanza e n-distanza. Non mi sembrano però molto chiare...

$ AA x, y in RR^n $

1- distanza:
$d(x, y) = sum_(i = 1)^(n) | x_(i)-y_(i)| $

n-distanza:
$d(x, y) = max _ (i=1, ..., n) { | x_(i)-y_(i)|} $

il dubbio è:

siccome la 1-distanza "dovrebbe" essere un caso specifico di n-distanza, per n=1 la n-distanza è:
$d(x, y) = | x_(1)-y_(1)| $
che è chiaramente diversa dalla definizione di 1-distanza data in precedenza!
Cosa sbaglio? È sbagliata la definizione (non è presa dal libro (dove non esiste) ma dalle lavagne del prof.) o la mia assunzione che la 1-distanza è un caso specifico di n-distanza per n=1?

Grazie

[Rigel1]

Coincidono per $n=1$, ma per $n\ge 2$ sono due cose diverse.

[giuggiolo1]

Grazie della risposta...ma perchè coincidono per n=1?

[giuggiolo1]

scusa, ho capito. ho posto n=1 solo nella n-distanza e non anche nella 1-distanza!
quindi 1-distanza e n-distanza sono due cose totalmente diverse?

[Rigel1]

Sono entrambe due metriche che hanno le palle quadrate
Però sì, sono diverse (per $n\ge 2$).