Dubbio su def. limite di f(x, y)
Non capisco una cosa negli esercizi in cui si chiede di verificare il limite di una funzione $R^2 -> R$ nel punto $x_0$ mediante la definizione.
Devo far vedere che qualunque intorno (lineare) del limite l di raggio $\epsilon$ individua un intorno (circolare) di $x_0$ di raggio $\delta(\epsilon)$ tale che ecc.
1) In questo esempio $ lim_((x,y) -> (0, 0)) (x^3 + y^3)/(x^2 + y^2) $ si ricava (ometto i calcoli): $ |( x^3 + y^3)/(x^2 + y^2)| <= sqrt(x^2 + y^2) < \epsilon$. Se scelgo $\delta < \epsilon$, ho trovato l'intorno "desiderato" ($\sqrt(x^2 + y^2) < \delta$ individua un intorno circolare di $x_0$ = $(0, 0)$). E fin qui mi pare tutto a posto.
2) Consideriamo invece un esempio come questo: $ lim_((x, y) -> (0, 0)) (x^3 - 2y^3)/(x^2 + y^2) $ in cui si vuole verificare che il limite è 0. Il libro indica di dimostrare che la $ | (x^3 - 2y^3)/(x^2 + y^2)| $ è infinitesima, e lo dimostra per confronto. Ma non interviene più $sqrt(x^2 + y^2)$, cioè l'intorno di $x_0$: perché...?
Grazie a chi ha voglia di aiutarmi in questo dubbio barboso!
Devo far vedere che qualunque intorno (lineare) del limite l di raggio $\epsilon$ individua un intorno (circolare) di $x_0$ di raggio $\delta(\epsilon)$ tale che ecc.
1) In questo esempio $ lim_((x,y) -> (0, 0)) (x^3 + y^3)/(x^2 + y^2) $ si ricava (ometto i calcoli): $ |( x^3 + y^3)/(x^2 + y^2)| <= sqrt(x^2 + y^2) < \epsilon$. Se scelgo $\delta < \epsilon$, ho trovato l'intorno "desiderato" ($\sqrt(x^2 + y^2) < \delta$ individua un intorno circolare di $x_0$ = $(0, 0)$). E fin qui mi pare tutto a posto.
2) Consideriamo invece un esempio come questo: $ lim_((x, y) -> (0, 0)) (x^3 - 2y^3)/(x^2 + y^2) $ in cui si vuole verificare che il limite è 0. Il libro indica di dimostrare che la $ | (x^3 - 2y^3)/(x^2 + y^2)| $ è infinitesima, e lo dimostra per confronto. Ma non interviene più $sqrt(x^2 + y^2)$, cioè l'intorno di $x_0$: perché...?
Grazie a chi ha voglia di aiutarmi in questo dubbio barboso!
Risposte
In genere, per dimostrare che \(\lim_{(x,y)\to (x_0,y_0)} f(x,y) = l\), ci si limita ad ottenere una maggiorazione del tipo
\[ |f(x,y) - l| \leq g(x,y) \]
con \(g\) funzione continua e nulla in \((x_0,y_0)\).
Questa sembra una perversione (dal momento che occorrerebbe dimostrare la continuità di \(g\) nel punto), ma si parte dal fatto che uno sappia che, ad esempio, i polinomi sono funzioni continue.
Se dunque ottieni una stima del tipo
\[ |f(x,y)| \leq x^3 + 2xy^2, \qquad \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\]
puoi concludere, usando l'argomento appena esposto, che \(f\) ha limite nullo nell'origine.
\[ |f(x,y) - l| \leq g(x,y) \]
con \(g\) funzione continua e nulla in \((x_0,y_0)\).
Questa sembra una perversione (dal momento che occorrerebbe dimostrare la continuità di \(g\) nel punto), ma si parte dal fatto che uno sappia che, ad esempio, i polinomi sono funzioni continue.
Se dunque ottieni una stima del tipo
\[ |f(x,y)| \leq x^3 + 2xy^2, \qquad \forall (x,y)\in \mathbb{R}^2\setminus\{(0,0)\}\]
puoi concludere, usando l'argomento appena esposto, che \(f\) ha limite nullo nell'origine.
Quindi, se ho capito bene, non è una verifica fatta mediante la definizione ma una verifica che si avvale del confronto con un'altra funzione si cui si conosce il limite?
p.s. Mi potresti spiegare come mai g(x) deve essere continua, se non è troppo lungo (approfitto!)?
p.s. Mi potresti spiegare come mai g(x) deve essere continua, se non è troppo lungo (approfitto!)?
Se \(g\) è continua e vale \(0\) nel punto assegnato, usi la definizione di continuità per \(g\) che ti dice che per ogni \(\epsilon >0\) esiste \(\delta > 0\) tale che \(|g(x,y)| < \epsilon\) per ogni \((x,y) \in B_{\delta}(x_0,y_0)\), dunque
\[
|f(x,y) - l| \leq g(x,y) < \epsilon\qquad \forall (x,y)\in B_{\delta}(x_0,y_0)\setminus\{(x_0,y_0)\}.
\]
Se \(g\) non è continua tutto ciò non è più vero.
\[
|f(x,y) - l| \leq g(x,y) < \epsilon\qquad \forall (x,y)\in B_{\delta}(x_0,y_0)\setminus\{(x_0,y_0)\}.
\]
Se \(g\) non è continua tutto ciò non è più vero.
Grazie mille Rigel!
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