Dubbio su coordinate polari per limiti a 2 variabili
ciao avevo 2 dubbio sul calcolo di limiti con coordinate polari:
dato lim f(x,y) con (x,y)->(x0,y0)
-la x e la y hanno la forma xp= x0 +pcos e y= y0 + psen. nel caso x0,y0 siano infinito come mi comporto? devo sommare infinto a pcos(o a psen) oppure non metto x0 e y0 ?
-il nuovo limite con coordinate polari sarà della forma lim f(p) con p->0 o p->infinito?
grazie mille
dato lim f(x,y) con (x,y)->(x0,y0)
-la x e la y hanno la forma xp= x0 +pcos e y= y0 + psen. nel caso x0,y0 siano infinito come mi comporto? devo sommare infinto a pcos(o a psen) oppure non metto x0 e y0 ?
-il nuovo limite con coordinate polari sarà della forma lim f(p) con p->0 o p->infinito?
grazie mille
Risposte
Capitan ovvio xD. Significa che la funzine diverge nell'origine quando il raggio diventa infinitamente grande, quindi immagina di metterti sugli assi coordinati, ed immagina una montagna il cui "cucuzzolo" si trova all'infinito. Hai capito ora?
Prova a fare l'ultimo limite che hai postato e posta il tuo tentativo.
EDIT: ma se tiho appena dimostrato che diverge.
Prova a fare l'ultimo limite che hai postato e posta il tuo tentativo.
EDIT: ma se tiho appena dimostrato che diverge.
"paolotesla91":
Capitan ovvio xD. Significa che la funzine diverge nell'origine quando il raggio diventa infinitamente grande, quindi immagina di metterti sugli assi coordinati, ed immagina una montagna il cui "cucuzzolo" si trova all'infinito. Hai capito ora?
Prova a fare l'ultimo limite che hai postato e posta il tuo tentativo.
EDIT: ma se tiho appena dimostrato che diverge.
dunque quindi sostituendo avrei:
$\{(x=1+\rhocos\theta),(y=\rhosen\theta):}$
$lim_(\rho -> +infty) (\rho^2cos^2\theta \rho^3sen^3\theta)/(\rhocos\theta+\rhosen\theta)=(\rho^4cos^2\theta sen^3\theta)/(cos\theta+sen\theta)->infty$ quindi il mio limite originale tende a 0.
giusto?
No. $\rho->0$ perchè devi studiare la fuznione nel punto $(1,0)$, quindi tu vuoi che il raggio si rimpicciolisca.
EDIT: comincio a dubitare sul fatto che tu abbia capito cosa stiamo facendo. o.O
EDIT: comincio a dubitare sul fatto che tu abbia capito cosa stiamo facendo. o.O
"paolotesla91":
No. $\rho->0$ perchè devi studiare la fuznione nel punto $(1,0)$, quindi tu vuoi che il raggio si rimpicciolisca.
EDIT: comincio a dubitare sul fatto che tu abbia capito cosa stiamo facendo. o.O
dunque se devo cercare il limite su un punto finito es (1,0) devo rimpicciolire p mentre se ho un punto infinito ($\infty$,4) devo allargare all'infinito il raggio?
il mio dubbio era dovuto al fatto che non mi è molto chiaro in che modo le coordinate polari vengano applicate a un limite
Il passaggio a coordinate polari ti permette di studiare la funzione inun intorno del punto in questione. Come ben sai un intorno di un punto del piano $RR^2$ è determinata da un cerchio di centro ilpunto e raggio $r>0$ e si indica cosi: $B(x,r)$. Dunque è ovvio che quando vuoi studiare il comportamento di una funzione in un punto finito (es. $(x_0,y_0)$) ciò che ti interessa è vedere cosa succede quando il raggio del cerchio (intorno) è infinitamente piccolo (se ci rifletti un pò su non è altro che la definizione di limite stessa). Per quanto riguarda il caso da te esposto nonso dirti, dovresti aspettare che qualcuno più esperto di me risponda, confido anche io in una risposta perchè mi interessa molto il caso in cui $(infty,4)$.
P.s. ora che rifletto un pò, questo caso mi sembra proprio impossibile, perchè non riusciresti mai a costruire un intorno di quel puno (un cerchio con centro in quel punto). Ma può darsi che stia dicendo sciocchezze.
P.s. ora che rifletto un pò, questo caso mi sembra proprio impossibile, perchè non riusciresti mai a costruire un intorno di quel puno (un cerchio con centro in quel punto). Ma può darsi che stia dicendo sciocchezze.
"paolotesla91":
Il passaggio a coordinate polari ti permette di studiare la funzione inun intorno del punto in questione. Come ben sai un intorno di un punto del piano $RR^2$ è determinata da un cerchio di centro ilpunto e raggio $r>0$ e si indica cosi: $B(x,r)$. Dunque è ovvio che quando vuoi studiare il comportamento di una funzione in un punto finito (es. $(x_0,y_0)$) ciò che ti interessa è vedere cosa succede quando il raggio del cerchio (intorno) è infinitamente piccolo (se ci rifletti un pò su non è altro che la definizione di limite stessa). Per quanto riguarda il caso da te esposto nonso dirti, dovresti aspettare che qualcuno più esperto di me risponda, confido anche io in una risposta perchè mi interessa molto il caso in cui $(infty,4)$.
P.s. ora che rifletto un pò, questo caso mi sembra proprio impossibile, perchè non riusciresti mai a costruire un intorno di quel puno (un cerchio con centro in quel punto). Ma può darsi che stia dicendo sciocchezze.
grazie mille! ora ho più chiaro il concetto di coordinate polari. la definizione di limite anche in 2 variabili la conoscevo ma non ci avevo pensato. quindi p è il raggio che rappresenta l'ampiezza dell'intorno del punto?
Salve, scusate se mi intrometto. Vorrei approfittare della discussione per chiedervi una delucidazione: quando conviene usare il metodo delle restrizioni e quando conviene quello delle coordinate polari? Se ciò ha a che fare con le funzioni a simmetria radiale potreste dirmi come riconoscere una funzione a simmetria radiale?
Grazie
Grazie
"paolotesla91":
Il passaggio a coordinate polari ti permette di studiare la funzione inun intorno del punto in questione. Come ben sai un intorno di un punto del piano $RR^2$ è determinata da un cerchio di centro ilpunto e raggio $r>0$ e si indica cosi: $B(x,r)$. Dunque è ovvio che quando vuoi studiare il comportamento di una funzione in un punto finito (es. $(x_0,y_0)$) ciò che ti interessa è vedere cosa succede quando il raggio del cerchio (intorno) è infinitamente piccolo (se ci rifletti un pò su non è altro che la definizione di limite stessa). Per quanto riguarda il caso da te esposto nonso dirti, dovresti aspettare che qualcuno più esperto di me risponda, confido anche io in una risposta perchè mi interessa molto il caso in cui $(infty,4)$.
P.s. ora che rifletto un pò, questo caso mi sembra proprio impossibile, perchè non riusciresti mai a costruire un intorno di quel puno (un cerchio con centro in quel punto). Ma può darsi che stia dicendo sciocchezze.
quindi ricapitolando se il limite è calcolato in un punto "finito" es (0,1) dunque la p deve essere ragionevolmente piccola (diciamo che tende a 0) dato che rappresenta un intorno del punto in cui cè il limite.
mentre se il limite è calcolato su un punto "infinito"es ($infty,-infty$) dunque la p dovrà essere molto grande? quindi tendente a $infty$ ? correggimi se sbaglio.
grazie
scusate se uppo prima delle undici ma vorrei una risposta in fretta dato che domani avrei l'esame ^^'
"robe92":
Salve, scusate se mi intrometto. Vorrei approfittare della discussione per chiedervi una delucidazione: quando conviene usare il metodo delle restrizioni e quando conviene quello delle coordinate polari? Se ciò ha a che fare con le funzioni a simmetria radiale potreste dirmi come riconoscere una funzione a simmetria radiale?
Grazie
Ciao Robe. I due metodi si basano su "filosofie" diverse. Il metodo delle restrizioni è utile solo per dimostrare che il limite non esiste, ma non permette di calcolare effettivamente il valore del limite.
Le coordinate polari invece si tirano in ballo se si è individuato un certo $L$ "candidato" ad essere il valore del limite: tramite le maggiorazioni si arriva ad una situazione del genere
\[0\leq|f(\rho,\theta)-L|\leq g(\rho)\]
Se si riesce a trovare questa $g(\rho)$ che tende a $0$ quando $\rho\to 0$, si può applicare il teorema del confronto (detto anche teorema del sandwich, che secondo me rende meglio l'idea
): in questo modo si conclude che $L$ è effettivamente il limite che stavamo cercando.Le funzioni a simmetria radiale non sono altro che funzioni fatte così:
\[f(x,y)=g(\sqrt{x^2+y^2})\]
che appunto dipendono solo dalla distanza dall'origine del punto $(x,y)$; ad esempio (scrivo $|\mathbf{x}|$ al posto di $\sqrt{x^2+y^2}$):
\[|\mathbf{x}|\qquad e^{|\mathbf{x}|}\qquad \ln|\mathbf{x}|-|\mathbf{x}| \]
ecc...
Ciao
Grazie Plepp, saresti così gentile da farmi un esempio di applicazione delle maggiorazioni? Mi faresti un favore enorme 
@lilengels: esatto. 
"paolotesla91":
@lilengels: esatto.
grazie mille!
"paolotesla91":
@lilengels: esatto.
un'ultima cosa... quando uso le coordinate polari, il limite in coordinate polari mi da il risultato del limite originale? oppure ne descrive solo il comportamento? es divergenza/convergenza
Vorrei capire come trovare questa $g(\rho)$ che mi maggiori la funzione di partenza
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo