Dubbio su conversione di domini in coordinate polari
Salve, durante lo svolgimento di qualche integrale doppio, mi è capitato di trovare qualche dubbio.
Ho un dominio del genere: $ Omega = {(x,y)inR^2:(x-1)^2+y^2<1, x^2+y^2>1} $
Graficamente, questo dominio è semplice da rappresentare: è il cerchio con circonferenza di equazione di centro $ (1, 0) $ e raggio 1, privato di una parte, cioè la parte in arancione più evidenziata:

Quando però devo usare le coordinate polari per convertire il dominio, come devo fare? Io ho considerato A e B, i punti di intersezione tra le due circonferenze, di coordinate polari $ (1, pi/3) $ e $ (1, - pi/3) $, e quindi ho fatto questa conversione:
$ Omega ' = {(rho,theta)inR^2:1
È giusto questo cambiamento di variabili?
Ho un dominio del genere: $ Omega = {(x,y)inR^2:(x-1)^2+y^2<1, x^2+y^2>1} $
Graficamente, questo dominio è semplice da rappresentare: è il cerchio con circonferenza di equazione di centro $ (1, 0) $ e raggio 1, privato di una parte, cioè la parte in arancione più evidenziata:

Quando però devo usare le coordinate polari per convertire il dominio, come devo fare? Io ho considerato A e B, i punti di intersezione tra le due circonferenze, di coordinate polari $ (1, pi/3) $ e $ (1, - pi/3) $, e quindi ho fatto questa conversione:
$ Omega ' = {(rho,theta)inR^2:1
È giusto questo cambiamento di variabili?
Risposte
Non ho controllato i conti, ma mi sembra ragionevole.
Il dubbio che si era creato era: considero $ theta $ compreso tra due angoli, $pi/3$ e $-pi/3$, ma c'è una parte di quel piano che si trova più in alto di $pi/3$ o più in basso di $-pi/3$...
Cioè la parte più evidenziata in questo grafico:

Va bene come ho detto prima, oppure mi sto facendo inutili problemi?
Cioè la parte più evidenziata in questo grafico:

Va bene come ho detto prima, oppure mi sto facendo inutili problemi?
Errore: gli angoli che hai definito sono quelli che definiscono il cono, di centro l'origine, che contiene tutta la parte della seconda circonferenza che ti interessa..
Quindi era come ho detto all'inizio?
Sì
Perfetto, grazie mille
