Dubbio su conversione di domini in coordinate polari

[francescoipp]

Salve, durante lo svolgimento di qualche integrale doppio, mi è capitato di trovare qualche dubbio.

Ho un dominio del genere: $ Omega = {(x,y)inR^2:(x-1)^2+y^2<1, x^2+y^2>1} $

Graficamente, questo dominio è semplice da rappresentare: è il cerchio con circonferenza di equazione di centro $ (1, 0) $ e raggio 1, privato di una parte, cioè la parte in arancione più evidenziata:



Quando però devo usare le coordinate polari per convertire il dominio, come devo fare? Io ho considerato A e B, i punti di intersezione tra le due circonferenze, di coordinate polari $ (1, pi/3) $ e $ (1, - pi/3) $, e quindi ho fatto questa conversione:

$ Omega ' = {(rho,theta)inR^2:1
È giusto questo cambiamento di variabili?

[ciampax]

Non ho controllato i conti, ma mi sembra ragionevole.

[francescoipp]

Il dubbio che si era creato era: considero $ theta $ compreso tra due angoli, $pi/3$ e $-pi/3$, ma c'è una parte di quel piano che si trova più in alto di $pi/3$ o più in basso di $-pi/3$...

Cioè la parte più evidenziata in questo grafico:



Va bene come ho detto prima, oppure mi sto facendo inutili problemi?

[ciampax]

Errore: gli angoli che hai definito sono quelli che definiscono il cono, di centro l'origine, che contiene tutta la parte della seconda circonferenza che ti interessa..

[francescoipp]

Quindi era come ho detto all'inizio?

[ciampax]

Sì

[francescoipp]

Perfetto, grazie mille