Dubbio su convergenza integrali impropri
Buonasera e buon sabato a tutti,
scusate il disturbo ma vorrei una mano con alcuni integrali impropri un pò pesantucci:
$ (e^(-x)-e^(-2x))/x^2$ su $]0,+oo[$
In questo esercizio ho seguito tale ragionamento:
allora ho diviso tale intervallo in $]0,1[$ e $]1,+oo[$ di cui nel primo ho studiato la funzione con il criterio del confronto per valori piccoli che si avvicinano a 0 e mi sono servito delle serie di Taylor avendo :$(1-x-(1-2x))/(x^2)~ 1/x$ quindi divergente.Domanda:possiamo fermarci già qui per dire che non è convergente?.
Comunque continuando il procedimento prendo in considerazione l'altro intervallo e opero attraverso il confronto asintotico e faccio $lim x->+oo (e^(-x)-e^(-2x))/x^2=0$ quindi converge.Però ho notato che vi è un segno negativo.E' giusto il mio calcolo?Quando la funzione diventa negativa la metto in valore assoluto?.
L'altro esercizio e':
$1/(xlog^(b)x)$ su $[2,+oo[$
Su questo esercizio sono in dubbio nel senso che ho usato le relazioni sugli integrali impropri notevoli:
$a=1$e $b>1$ converge
se$a=1$ e$b<=1$ diverge.
L'altro esercizio:
$1/x logx log(1+x)$ su $[0,+oo[$
su questo il mio dubbio sta nel dividere o no il dominio.Si divide?
Grazie in anticipo per l'aiuto.
scusate il disturbo ma vorrei una mano con alcuni integrali impropri un pò pesantucci:
$ (e^(-x)-e^(-2x))/x^2$ su $]0,+oo[$
In questo esercizio ho seguito tale ragionamento:
allora ho diviso tale intervallo in $]0,1[$ e $]1,+oo[$ di cui nel primo ho studiato la funzione con il criterio del confronto per valori piccoli che si avvicinano a 0 e mi sono servito delle serie di Taylor avendo :$(1-x-(1-2x))/(x^2)~ 1/x$ quindi divergente.Domanda:possiamo fermarci già qui per dire che non è convergente?.
Comunque continuando il procedimento prendo in considerazione l'altro intervallo e opero attraverso il confronto asintotico e faccio $lim x->+oo (e^(-x)-e^(-2x))/x^2=0$ quindi converge.Però ho notato che vi è un segno negativo.E' giusto il mio calcolo?Quando la funzione diventa negativa la metto in valore assoluto?.
L'altro esercizio e':
$1/(xlog^(b)x)$ su $[2,+oo[$
Su questo esercizio sono in dubbio nel senso che ho usato le relazioni sugli integrali impropri notevoli:
$a=1$e $b>1$ converge
se$a=1$ e$b<=1$ diverge.
L'altro esercizio:
$1/x logx log(1+x)$ su $[0,+oo[$
su questo il mio dubbio sta nel dividere o no il dominio.Si divide?
Grazie in anticipo per l'aiuto.
Risposte
Per quanto riguarda la prima domanda, certamente si puoi conludere che l'integrale in quell'intervallo risulta divergente; intuitivamente, se l'area avvicinandoti a zero diventa infinita, allora anche se ci sommi un'area finita resta cmq infinita.
per quanto riguarda il comportamento a $+\infty$, devi ricordare che per poter applicare il confronto, devi avere una funzione che mantenga segno costante, positivo o negativo, e quella funzione per $x>0$ è sempre positiva.
Per il secondo esercizio, se hai dubbi, puoi ricorrere alla definizione, nel senso che quell'integrale lo riesci a calcolare:
\[\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^b x}\,\,dx=\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{ \ln^b x}\,\,d(\ln x)=\int_{\ln2}^{+\infty}\frac{1}{ t^b }\,\,dt\]
che converge se $b>1.$
nel terzo non serve dividere il dominio
per quanto riguarda il comportamento a $+\infty$, devi ricordare che per poter applicare il confronto, devi avere una funzione che mantenga segno costante, positivo o negativo, e quella funzione per $x>0$ è sempre positiva.
Per il secondo esercizio, se hai dubbi, puoi ricorrere alla definizione, nel senso che quell'integrale lo riesci a calcolare:
\[\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{x\ln^b x}\,\,dx=\int_{2}^{+\infty}\frac{1}{ \ln^b x}\,\,d(\ln x)=\int_{\ln2}^{+\infty}\frac{1}{ t^b }\,\,dt\]
che converge se $b>1.$
nel terzo non serve dividere il dominio
Grazie per la risposta.Ma nel terzo il problema sta a 0 o a +inf?
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