Dubbio su convergenza integrale
Salve a tutti! Sto studiando la trasformata di Fourier ed in particolare la relazione che c'è tra questa e la trasformata di Laplace, ma ci sono alcuni punti che mi lasciano perplesso, ovvero:
1) I segnali a potenza finita, ovvero a eneegia illimitata, ammettono trasformata di Fourier anche se in forma generalizzata, ovvero grazie all'introduzione dell'impulso di Dirac. Per quanto riguarda i segnali aventi potenza illimitata, il discorso cambia.
A questo punto viene detto che per esempio il segnale rampa lineare, ovvero t*u(t) è uno di questi. Ma perchè la potenza di questo segnale è illimitata?? A me non sembra, o meglio se andiamo a vedere il grafico di questa funzione, è chiaro che l'area da essa sottesa va all'infinito al tendere di t all'infinito e se andiamo a calcolare l'energia, ovvero l'integrale del quadrato in valore assoluto del segnale, anche quest'area diverge, o sbaglio?? Non dovrebbe essere quindi Energia infinita - potenza finita??
2)Viene considerato il segnale gradino u(t). L'integrale di Fourier questo segnale tra 0 e + infinito è solamente l'integrale dell'esponenziale di Fourier, ovvero: $ U(f)=int_(0)^(oo ) e^{-j*2*\pi*f*t} $ e a questo punto viene detto che questo integrale diverge, quindi si moltiplica il segnale gradino per un esponenziale $ e^{-\sigma*t} $ in modo che si smorzi il sua andamento e l'integrale finale converga. Ma perchp il primo integrale DIVERGE?? A me non sembra prorpio, ovvero facendo l'integrale di quell'esponenziale e andando a sostituire gli estremi nella variabile d'integrazione ottengo $ 0 - (-1/(j2*\pi*f*t))= 1/(j*2*\pi*f*t) $ e non mi sembra proprio che sia divergente. Inoltre, moltiplicando per quell'esponenziale smorzante il risultato è esattamente lo stesso ma al denominatore abbiamo $ \sigma + j2*\pi*f$ e non mi sembra cambi granchè.
Sono sicuro che c'è qualcosa che mi sfugge ed è per questo motivo che non mi è per niente chiaro. Perfavore chiaritemi al più presto. Attendo risposte
1) I segnali a potenza finita, ovvero a eneegia illimitata, ammettono trasformata di Fourier anche se in forma generalizzata, ovvero grazie all'introduzione dell'impulso di Dirac. Per quanto riguarda i segnali aventi potenza illimitata, il discorso cambia.
A questo punto viene detto che per esempio il segnale rampa lineare, ovvero t*u(t) è uno di questi. Ma perchè la potenza di questo segnale è illimitata?? A me non sembra, o meglio se andiamo a vedere il grafico di questa funzione, è chiaro che l'area da essa sottesa va all'infinito al tendere di t all'infinito e se andiamo a calcolare l'energia, ovvero l'integrale del quadrato in valore assoluto del segnale, anche quest'area diverge, o sbaglio?? Non dovrebbe essere quindi Energia infinita - potenza finita??
2)Viene considerato il segnale gradino u(t). L'integrale di Fourier questo segnale tra 0 e + infinito è solamente l'integrale dell'esponenziale di Fourier, ovvero: $ U(f)=int_(0)^(oo ) e^{-j*2*\pi*f*t} $ e a questo punto viene detto che questo integrale diverge, quindi si moltiplica il segnale gradino per un esponenziale $ e^{-\sigma*t} $ in modo che si smorzi il sua andamento e l'integrale finale converga. Ma perchp il primo integrale DIVERGE?? A me non sembra prorpio, ovvero facendo l'integrale di quell'esponenziale e andando a sostituire gli estremi nella variabile d'integrazione ottengo $ 0 - (-1/(j2*\pi*f*t))= 1/(j*2*\pi*f*t) $ e non mi sembra proprio che sia divergente. Inoltre, moltiplicando per quell'esponenziale smorzante il risultato è esattamente lo stesso ma al denominatore abbiamo $ \sigma + j2*\pi*f$ e non mi sembra cambi granchè.
Sono sicuro che c'è qualcosa che mi sfugge ed è per questo motivo che non mi è per niente chiaro. Perfavore chiaritemi al più presto. Attendo risposte
Risposte
1) Che intendi con potenza di un segnale?
2) L'esponenziale complesso all'infinito non è regolare, quindi non è vero che \(\lim_{f\to \infty} e^{-2\pi \jmath f} =0\) (P.S.: nel tuo risultato, comunque, ci sarebbe una \(t\) di troppo).
2) L'esponenziale complesso all'infinito non è regolare, quindi non è vero che \(\lim_{f\to \infty} e^{-2\pi \jmath f} =0\) (P.S.: nel tuo risultato, comunque, ci sarebbe una \(t\) di troppo).
1) Con potenza di un segnale intendo la sua energia divisa per la durata del segnale stesso e con la durata portata all'infinito al limite, ovvero: $ P = lim_(T -> oo ) (int_(-T/2)^(T/2) |x(t)|^2 dt )/T $. Se un segnale ha energia finita, dunque la sua potenza sarà nulla. Se un segnale ha energia infinita, la potenza tenderà a un valore finito.
2) Scusa, non mi ero accorto di aver messo la t
Comunque, l'integrale è in dt e non in df, ma il risultato è sempre quello che dici tu. Quindi l'esponenziale complesso non tende a 0, giusto?? Infatti, se al suo posto considero la forma in seno e coseno, otterrò una cosa uguale a 0 e l'altra che oscilla sempre tra 1 e -1. A cosa è uguale quindi questo integrale?? Converge o no?? Come faccio a calcolarlo?
2) Scusa, non mi ero accorto di aver messo la t
Comunque, l'integrale è in dt e non in df, ma il risultato è sempre quello che dici tu. Quindi l'esponenziale complesso non tende a 0, giusto?? Infatti, se al suo posto considero la forma in seno e coseno, otterrò una cosa uguale a 0 e l'altra che oscilla sempre tra 1 e -1. A cosa è uguale quindi questo integrale?? Converge o no?? Come faccio a calcolarlo?
1) Allora, per determinate la potenza della "rampa", i.e. \(t\mapsto t\ \operatorname{u}(t)\) bisogna calcolare esplicitamente:
\[
\frac{1}{T}\ \int_{-T/2}^{T/2} (t\ \operatorname{u}(t))^2\ \text{d} t = \frac{1}{T}\ \int_0^{T/2} t^2\ \text{d} t
\]
e poi passare al limite per \(T\to +\infty\)... E non mi pare proprio che la potenza risulti finita (né tantomeno l'energia).
2) La TdF della "rampa", infatti, non si calcola in senso classico, bensì (al massimo) in senso distribuzionale.
\[
\frac{1}{T}\ \int_{-T/2}^{T/2} (t\ \operatorname{u}(t))^2\ \text{d} t = \frac{1}{T}\ \int_0^{T/2} t^2\ \text{d} t
\]
e poi passare al limite per \(T\to +\infty\)... E non mi pare proprio che la potenza risulti finita (né tantomeno l'energia).
2) La TdF della "rampa", infatti, non si calcola in senso classico, bensì (al massimo) in senso distribuzionale.
1)Mi sto accorgendo solo adesso che l'energia e la potenza non convergono 
Prima non ci avevo fatto per niente caso. Sarà il caldo, ma in questi giorni non connetto
2) Per quanto riguarda la trasformata di Fourier, non mi riferisco a quella della rampa, ma a quella del gradino. Se andiamo ad integrare tra 0 e + infinito, otteniamo il solo esponenziale complesso da integrare, quindi il risultato ottenuto dipende da questo esponenziale complesso che, come hai detto tu prima, non converge. C'è qualcosa che dimostra la non convergenza di questo tipo di esponenziale? Qualche esempio??
L'unica cosa che a me viene in mente è questa:
$ e^{-j*2*\pi*f*t} = cos (j*2*\pi*f*t) - j*sin (j*2*\pi*f*t) $
a questo punto, per t= $ oo $ abbiamo che entrambe le funzioni oscillano tra -1 e +1 e quando una è 1 l'altra è 0. Quando è 1 o -1 la parte riguardante il seno, otteniamo j o -j, quindi un numero complesso.
Per $t=0$ abbiamo invece che il coseno è 1 e il seno è zero, quindi il risultato finale dell'integrale sarà un numero complesso, e nei casi estremi un num reale o un immaginario puro, diviso per $-j*2*\pi*f$ a cui sottraiamo $1/(-j*2*\pi*f)$
Quindi il risultato è un numero complesso. Perchè quindi l'integrale non converge? Non converge poichè si sta parlando di convergenza nell'insieme Reale, mentre quì siamo nel campo complesso?
Prima non ci avevo fatto per niente caso. Sarà il caldo, ma in questi giorni non connetto 2) Per quanto riguarda la trasformata di Fourier, non mi riferisco a quella della rampa, ma a quella del gradino. Se andiamo ad integrare tra 0 e + infinito, otteniamo il solo esponenziale complesso da integrare, quindi il risultato ottenuto dipende da questo esponenziale complesso che, come hai detto tu prima, non converge. C'è qualcosa che dimostra la non convergenza di questo tipo di esponenziale? Qualche esempio??
L'unica cosa che a me viene in mente è questa:
$ e^{-j*2*\pi*f*t} = cos (j*2*\pi*f*t) - j*sin (j*2*\pi*f*t) $
a questo punto, per t= $ oo $ abbiamo che entrambe le funzioni oscillano tra -1 e +1 e quando una è 1 l'altra è 0. Quando è 1 o -1 la parte riguardante il seno, otteniamo j o -j, quindi un numero complesso.
Per $t=0$ abbiamo invece che il coseno è 1 e il seno è zero, quindi il risultato finale dell'integrale sarà un numero complesso, e nei casi estremi un num reale o un immaginario puro, diviso per $-j*2*\pi*f$ a cui sottraiamo $1/(-j*2*\pi*f)$
Quindi il risultato è un numero complesso. Perchè quindi l'integrale non converge? Non converge poichè si sta parlando di convergenza nell'insieme Reale, mentre quì siamo nel campo complesso?
Quell'integrale non converge (proprio perchè stai considerando un esponenziale complesso): infatti risulta:
\[
\int_0^T e^{-\imath\ 2\pi f\ t}\ \text{d} t = \frac{1}{\jmath\ 2\pi f}\ (1-e^{-\jmath\ 2\pi f\ T})
\]
ed il secondo membro non ha limite per \(T\to +\infty\) (infatti l'immagine di quell'esponenziale è tutta la circonferenza unitaria).
Quindi non ha alcun senso chiedersi quanto valga la TdF classica del gradino, perchè non esiste.
Per dare un senso alla TdF del gradino devi per forza di cose "emigrare" nel territorio più vasto della Teoria delle Distribuzioni.
\[
\int_0^T e^{-\imath\ 2\pi f\ t}\ \text{d} t = \frac{1}{\jmath\ 2\pi f}\ (1-e^{-\jmath\ 2\pi f\ T})
\]
ed il secondo membro non ha limite per \(T\to +\infty\) (infatti l'immagine di quell'esponenziale è tutta la circonferenza unitaria).
Quindi non ha alcun senso chiedersi quanto valga la TdF classica del gradino, perchè non esiste.
Per dare un senso alla TdF del gradino devi per forza di cose "emigrare" nel territorio più vasto della Teoria delle Distribuzioni.
Perfetto, adesso ci siamo 
E' questo che mi volevo chiarire prorpio perchè subito dopo si parla di teoria delle distribuzioni, quindi volevo capire il perchè le cose non funzionano utilizzando l'analisi tradizionale.
Ora, moltiplicando il segnale gradino per un nuovo esponenziale reale, ovvero $ u(t)*e^{-\sigma*t} $, l'integrale converge al valore finale $ 1/(\sigma - j*2*\pi*f*t) $. Questo è immediatamente visibile graficamente, visto che prima l'area era infinita e adesso converge a un valore finito. Dal punto di vista di integrale, la convergenza si ha perchè il termine di cui si fa il limite all'infinito tende a 0 grazie all'esponenziale reale che va al denominatore e tende all'infinito, giusto?? E' questa la spiegazione del passaggio alla trasformata di Laplace del gradino. Ho afferrato il concetto
E' questo che mi volevo chiarire prorpio perchè subito dopo si parla di teoria delle distribuzioni, quindi volevo capire il perchè le cose non funzionano utilizzando l'analisi tradizionale.Ora, moltiplicando il segnale gradino per un nuovo esponenziale reale, ovvero $ u(t)*e^{-\sigma*t} $, l'integrale converge al valore finale $ 1/(\sigma - j*2*\pi*f*t) $. Questo è immediatamente visibile graficamente, visto che prima l'area era infinita e adesso converge a un valore finito. Dal punto di vista di integrale, la convergenza si ha perchè il termine di cui si fa il limite all'infinito tende a 0 grazie all'esponenziale reale che va al denominatore e tende all'infinito, giusto?? E' questa la spiegazione del passaggio alla trasformata di Laplace del gradino. Ho afferrato il concetto
Ma perchè metti \(t\) dopo aver integrato rispetto a tale variabile?
Lo sai (vero???) che un integrale definito è un numero che non dipende dalla variabile d'integrazione...
Lo sai (vero???) che un integrale definito è un numero che non dipende dalla variabile d'integrazione...
Mi scuso per la seconda volta per aver inserito quella dannata $t$ 
So perfettamente che non deve comparire nel risultato di un integrale e, anche se non lo avessi saputo, i calcoli parlano chiaro
Il problema è che scrivo di fretta e le formule contengono tante lettere, quindi ogni tanto ci scappa una lettera di troppo! Farò più attenzione
P.S. Per il resto, il mio ragionamento è esatto, vero???
So perfettamente che non deve comparire nel risultato di un integrale e, anche se non lo avessi saputo, i calcoli parlano chiaro
Il problema è che scrivo di fretta e le formule contengono tante lettere, quindi ogni tanto ci scappa una lettera di troppo! Farò più attenzione
P.S. Per il resto, il mio ragionamento è esatto, vero???
Ho terminato di leggere un capitolo che da dei cenni sulla teoria delle distribuzioni. Ci sono alcune cose che non mi sono chiare, ovvero:
1) Per far diventare un funzionale una distribuzione, si introduce una funzione di appoggio $\phi(t)$ che non fa altro che garantire la continuità, mentre la linearità è garantita dall'integrale, che come sappiamo dall'analisi soddisfa la prop. di linearità.
Insomma, otteniamo una distribuzione così definita $T_(\phi)= int_(-oo )^(+oo ) \phi(t)*x(t)dt $. La condizione che fa si che questa sia una distribuzione è la "locale sommabilità" della funzione di appoggio $\phi(t)$, ovvero $ int_(t1 )^(t2 ) |\phi(t)|dt < oo $. A questo punto dice che questa cosa è semplice da dimostrare, ma non lo dimostra!
Considerando che la proprietà di continuità è la seguente:
"sia data una successione di funzioni $x_(\epsilon)(t)$ con limite $ lim_(\epsilon -> 0) x_(\epsilon)(t)= x(t) $, allora un funzionale è continuo se $ lim_(\epsilon -> 0) T[x_(\epsilon)(t)]=T[lim_(\epsilon -> 0)x_(\epsilon)(t)]=T[x(t)] $"
non riesco bene a capire il perchè quella funzione localmente sommabile introduca la continuità. Io penso che la dimostrazione sia la seguente:
Un funzionale è definito come una corrispondenza che associa a una funzione $x(t)$ di "durata limitata", un ben definito numero reale o complesso. Se assumiamo che il nuovo funzionale sia $T_(\phi)= int_(-oo )^(+oo ) \phi(t)*x(t)dt $ con la $\phi(t)$ localmente sommabile, allora, vista la definizione di funzionale che richiede che il segnale x(t) abbia durata limitata, significa che possiamo considerare l'integrale solo nel periodo di durata del segnale $x(t)$ e quindi un generico intervallo [t1,t2]. Inoltre, la funzione $\phi$ è localmente sommabile in quell'intervallo, quindi assumiamo per esempio che sia $ int_(t1 )^(t2 ) |\phi(t)|dt = M $ In questo modo, considerando dinuovo la proprietà di continuità, abbiamo che $ lim_(\epsilon -> 0) T_(\phi)[x_\epsilon]= lim_(\epsilon -> 0) int_(t1 )^(t2 ) |\phi(t)|*x_(\epsilon)(t)dt <= lim_(\epsilon -> 0)int_(t1 )^(t2 )M*x_(\epsilon)dt=lim_(\epsilon -> 0) M*int_(t1 )^(t2 )x_(\epsilon)dt$. Sfruttando adesso la linearità della funzione integrale, possiamo portare il limite all'interno dell'integrale ottenendo $M*int_(t1 )^(t2 )lim_(\epsilon -> 0)x_(\epsilon)dt$ e quindi $M*int_(t1 )^(t2 )x(t)dt$ ovvero ancora $M*T_(\phi)[x(t)]$.
E' questo che volevamo dimostrare?? C'è qualcosa che non va nella mia dimostrazione? Quello che non mi è chiaro è che, con la mia dimostrazione, si otterrebbe lo stesso risultato anche senza la presenza della funzione di appoggio. Allora a che serve questa funzione? Non so perchè, ma non sono sicurissimo di quello che ho scritto... specialmente per quanto riguarda il passaggio del limite sotto il segno di integrale
2)Quando si parla di derivata di una distribuzione, viene detto che per definizione $T'_(\phi)[x]=T_(\phi')[x]= int_(-oo )^(+oo ) \phi'(t)*x(t)dt $. A questo punto viene integrato per parti ottenendo $ \phi(t)*x(t) - int_(-oo )^(+oo ) \phi(t)*x'(t)dt $ con il primo addendo integrato tra $-oo$ e $+oo$ . Ora, il primo addendo viene eliminato perchè, dovendo avere il segnale x(t) energia finita, deve tendere a zero quando il tempo tende all'infinito.
Chi ha detto che il segnale deve avere energia finita? Anche se il segnale avesse energia finita, l'energia è il quadrato del segnale preso in valore assoluto(il segnale) e inoltre moltiplicato per la funzione $\phi$. Chi lo dice che per il tempo che tende all'infinito, il prodotto viene 0? Non riesco a capire questo passaggio...
3)Continuando con la dimostrazione di derivata di una distribuzione, si ottiene dal passaggio precedente $T'_(\phi)[x]=-T_(\phi)[x']$. Tramite questo risultato vogliamo dimostrare che l'impulso di Dirac è proprio la derivata del gradino, quindi scegliamo $\phi(t)=u(t)$ e abbiamo $T_u[x]= int_(-oo)^(+oo) u(t)*x(t)dt $ e calcolando la derivata otteniamo $T'_u[x]=- int_(-oo)^(+oo) u(t)*x'(t)dt=- int_(0)^(+oo) x(t)dt = int_(-oo)^(0) x'(\alpha)d\alpha=x(0)=T_(\delta)[x] $ .
Da dove viene questo risultato? O meglio, perchè l'ultimo integrale è uguale a $x(0)$. Capisco che è collegato alla proprietà campionatrice dell'impulso, ma non riesco a capire come viene usata in questo caso!!
Please HELPPP!
1) Per far diventare un funzionale una distribuzione, si introduce una funzione di appoggio $\phi(t)$ che non fa altro che garantire la continuità, mentre la linearità è garantita dall'integrale, che come sappiamo dall'analisi soddisfa la prop. di linearità.
Insomma, otteniamo una distribuzione così definita $T_(\phi)= int_(-oo )^(+oo ) \phi(t)*x(t)dt $. La condizione che fa si che questa sia una distribuzione è la "locale sommabilità" della funzione di appoggio $\phi(t)$, ovvero $ int_(t1 )^(t2 ) |\phi(t)|dt < oo $. A questo punto dice che questa cosa è semplice da dimostrare, ma non lo dimostra!
Considerando che la proprietà di continuità è la seguente:
"sia data una successione di funzioni $x_(\epsilon)(t)$ con limite $ lim_(\epsilon -> 0) x_(\epsilon)(t)= x(t) $, allora un funzionale è continuo se $ lim_(\epsilon -> 0) T[x_(\epsilon)(t)]=T[lim_(\epsilon -> 0)x_(\epsilon)(t)]=T[x(t)] $"
non riesco bene a capire il perchè quella funzione localmente sommabile introduca la continuità. Io penso che la dimostrazione sia la seguente:
Un funzionale è definito come una corrispondenza che associa a una funzione $x(t)$ di "durata limitata", un ben definito numero reale o complesso. Se assumiamo che il nuovo funzionale sia $T_(\phi)= int_(-oo )^(+oo ) \phi(t)*x(t)dt $ con la $\phi(t)$ localmente sommabile, allora, vista la definizione di funzionale che richiede che il segnale x(t) abbia durata limitata, significa che possiamo considerare l'integrale solo nel periodo di durata del segnale $x(t)$ e quindi un generico intervallo [t1,t2]. Inoltre, la funzione $\phi$ è localmente sommabile in quell'intervallo, quindi assumiamo per esempio che sia $ int_(t1 )^(t2 ) |\phi(t)|dt = M $ In questo modo, considerando dinuovo la proprietà di continuità, abbiamo che $ lim_(\epsilon -> 0) T_(\phi)[x_\epsilon]= lim_(\epsilon -> 0) int_(t1 )^(t2 ) |\phi(t)|*x_(\epsilon)(t)dt <= lim_(\epsilon -> 0)int_(t1 )^(t2 )M*x_(\epsilon)dt=lim_(\epsilon -> 0) M*int_(t1 )^(t2 )x_(\epsilon)dt$. Sfruttando adesso la linearità della funzione integrale, possiamo portare il limite all'interno dell'integrale ottenendo $M*int_(t1 )^(t2 )lim_(\epsilon -> 0)x_(\epsilon)dt$ e quindi $M*int_(t1 )^(t2 )x(t)dt$ ovvero ancora $M*T_(\phi)[x(t)]$.
E' questo che volevamo dimostrare?? C'è qualcosa che non va nella mia dimostrazione? Quello che non mi è chiaro è che, con la mia dimostrazione, si otterrebbe lo stesso risultato anche senza la presenza della funzione di appoggio. Allora a che serve questa funzione? Non so perchè, ma non sono sicurissimo di quello che ho scritto... specialmente per quanto riguarda il passaggio del limite sotto il segno di integrale
2)Quando si parla di derivata di una distribuzione, viene detto che per definizione $T'_(\phi)[x]=T_(\phi')[x]= int_(-oo )^(+oo ) \phi'(t)*x(t)dt $. A questo punto viene integrato per parti ottenendo $ \phi(t)*x(t) - int_(-oo )^(+oo ) \phi(t)*x'(t)dt $ con il primo addendo integrato tra $-oo$ e $+oo$ . Ora, il primo addendo viene eliminato perchè, dovendo avere il segnale x(t) energia finita, deve tendere a zero quando il tempo tende all'infinito.
Chi ha detto che il segnale deve avere energia finita? Anche se il segnale avesse energia finita, l'energia è il quadrato del segnale preso in valore assoluto(il segnale) e inoltre moltiplicato per la funzione $\phi$. Chi lo dice che per il tempo che tende all'infinito, il prodotto viene 0? Non riesco a capire questo passaggio...
3)Continuando con la dimostrazione di derivata di una distribuzione, si ottiene dal passaggio precedente $T'_(\phi)[x]=-T_(\phi)[x']$. Tramite questo risultato vogliamo dimostrare che l'impulso di Dirac è proprio la derivata del gradino, quindi scegliamo $\phi(t)=u(t)$ e abbiamo $T_u[x]= int_(-oo)^(+oo) u(t)*x(t)dt $ e calcolando la derivata otteniamo $T'_u[x]=- int_(-oo)^(+oo) u(t)*x'(t)dt=- int_(0)^(+oo) x(t)dt = int_(-oo)^(0) x'(\alpha)d\alpha=x(0)=T_(\delta)[x] $ .
Da dove viene questo risultato? O meglio, perchè l'ultimo integrale è uguale a $x(0)$. Capisco che è collegato alla proprietà campionatrice dell'impulso, ma non riesco a capire come viene usata in questo caso!!
Please HELPPP!
Qualche aiuto?? 
Alex, da che libro studi?
Per quel che riguarda le basi della Teoria delle Distribuzioni puoi vedere questo mio post recente.
Per quel che riguarda le basi della Teoria delle Distribuzioni puoi vedere questo mio post recente.
La materia è Teoria dei segnali e sto studiando dal libro " Teoria dei segnali - Luise, Vitetta - McGraw Hill". Il corso non tratta la teoria delle distribuzioni, ma ad essa sono dedicate circa sei pagine per chiarire l'introduzione del delta Dirac. Questa cosa però non mi piace molto, perchè si sorvola su tante cose ed alcune di queste vengono ritenute già conosciute dal lettore... cosa che la maggior parte delle volte non è vera
Adesso darò un'occhiata al link che mi hai inviato, ma quello che ho scritto io è fondato o ho scritto cavolate? XD
P.S. Ho letto attentamente la tua trattazione dell'argomento nel link che mi hai inviato. Praticamente dimostri come si arriva alla definizione di distribuzione in maniera formale, cosa che il libro mio non fa essendo un libro ingegneristico e dedicato ad altri argomenti. Purtroppo non sono riuscito a comprendere a pieno la tua spiegazione perchè non mi è chiara la notazione usata. Insomma, nel nostro piano di studi abbiamo avuto un corso di algebra lineare e geometria, ma non così approfondito . Per esempio:
- cosa intendi con la notazione $ C_(c) ^oo (cc(R) ^N) $ ? E' lo spazio delle funzioni reali di dimensione N e derivabili infinitamente volte con derivate continue?
-Inoltre, cosa rappresenta lo spazio $L_(loc)^1(cc(R)^N)$?
- Infine, cosa intendi con "grosso" compatto $K$?
Adesso darò un'occhiata al link che mi hai inviato, ma quello che ho scritto io è fondato o ho scritto cavolate? XD
P.S. Ho letto attentamente la tua trattazione dell'argomento nel link che mi hai inviato. Praticamente dimostri come si arriva alla definizione di distribuzione in maniera formale, cosa che il libro mio non fa essendo un libro ingegneristico e dedicato ad altri argomenti. Purtroppo non sono riuscito a comprendere a pieno la tua spiegazione perchè non mi è chiara la notazione usata. Insomma, nel nostro piano di studi abbiamo avuto un corso di algebra lineare e geometria, ma non così approfondito
. Per esempio:- cosa intendi con la notazione $ C_(c) ^oo (cc(R) ^N) $ ? E' lo spazio delle funzioni reali di dimensione N e derivabili infinitamente volte con derivate continue?
-Inoltre, cosa rappresenta lo spazio $L_(loc)^1(cc(R)^N)$?
- Infine, cosa intendi con "grosso" compatto $K$?
Ma scusa, Alex, da voi "Metodi Matematici" non è propedeutico a "Segnali"?
Almeno qui a Napoli è così...
Ad ogni modo, un buon testo dove sono spiegate queste cose è il Barozzi, Metodi Matematici per l'Ingegneria dell'Informazione, Zanichelli.
Per quanto riguarda il resto, ti posso fornire queste definizioni/delucidazioni.
Lo spazio \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) è quello che contiene tutte le funzioni indefinitamente differenziabili definite in tutto\(\mathbb{R}^N\) le quali sono nulle fuori da un compatto, i.e.:
\[
u\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} u\in C^\infty (\mathbb{R}^N) \\ \exists K\subset \mathbb{R}^N:\ K \text{ è compatto non vuoto e } u(x)=0 \text{ per } x\notin K\end{cases}
\]
le funzioni che appartengono a tale spazio vengono usualmente dette funzioni test (o, semplicemente, test).
Il più piccolo compatto fuori da quale un test \(u\) è nullo si chiama supporto di \(u\) e si denota con \(\operatorname{supp} u\): si prova facilmente che \(\operatorname{supp} u= \text{chiusura di } \{x\in \mathbb{R}^N:\ u(x)\neq 0\}\) e, quindi, la seconda condizione di appartenenza allo spazio dei test equivale a richiedere che \(\operatorname{supp} u\) sia compatto in \(\mathbb{R}^N\). Per questa ragione le funzioni di \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) si chiamano anche funzioni regolari a supporto compatto
Ad esempio, per \(N=1\), il mollificatore standard:
\[
\phi_1(x) := \begin{cases} e^{1/(x^2-1)} &\text{, se } |x|<1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è una funzione di \(C_c^\infty (\mathbb{R})\) (la regolarità si dimostra per induzione, con un po' di contarielli) che ha \(\operatorname{supp} \phi_1 =[-1,1]\); viceversa, le funzioni:
\[
u(x):=\sin x \qquad \text{e} \qquad v(x):= \begin{cases} 1-x^2 &\text{, se } |x|<1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}
\]
non stanno in \(C_c^\infty (\mathbb{R})\) (perchè \(u\) è di classe \(C^\infty\) ma non ha supporto compatto, e \(v\) ha supporto compatto ma non è regolare).
Lo spazio \(L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\) è costituito da tutte le funzioni definite in \(\mathbb{R}^N\) il cui valore assoluto risulta integrabile (nel senso di Lebesgue) su ogni compatto \(K\subset \mathbb{R}^N\), cioè:
\[
f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N) \quad \Leftrightarrow \quad \forall K\subset \mathbb{R}^N \text{ compatto},\ \int_K |f(x)|\ \text{d} x<+\infty\; .
\]
Le funzioni di \(L_{loc}^1(\mathbb{R}^N)\) si chiamano funzioni localmente integrabili (l'avverbio "localmente" significa proprio che la tipica funzione della classe è integrabile sui "pezzi compatti" di \(\mathbb{R}^N\) ma può non esserlo su tutto lo spazio).
Ad esempio ogni funzione di classe \(C(\mathbb{R}^N)\) è una funzione di \(L_{loc}^1(\mathbb{R}^N)\) (però ci sono funzioni anche molto discontinue in tale classe); invece, per \(N=1\), una funzione che non sta in \(L_{loc}^1(\mathbb{R})\) è:
\[
g(x) := \begin{cases} 1/x^2 &\text{, per } x\neq 0 \\ 0 &\text{, per } x=0\; ,
\end{cases}
\]
perchè \(|g|=g\) non è integrabile su nessun compatto che contenga \(0\).
Inoltre, quando alludo ad un "compatto sufficientemente grande" nella definizione di convergenza nello spazio dei test, intendo dire che:
\[
\exists K\subset \mathbb{R}^N \text{ compatto}:\ \forall n\in \mathbb{N},\ \operatorname{suppp} u_n \subseteq K\; ,
\]
cioè che esiste un compatto in cui possono essere confinati tutti i supporti delle \(u_n\).
Almeno qui a Napoli è così...
Ad ogni modo, un buon testo dove sono spiegate queste cose è il Barozzi, Metodi Matematici per l'Ingegneria dell'Informazione, Zanichelli.
Per quanto riguarda il resto, ti posso fornire queste definizioni/delucidazioni.
Lo spazio \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) è quello che contiene tutte le funzioni indefinitamente differenziabili definite in tutto\(\mathbb{R}^N\) le quali sono nulle fuori da un compatto, i.e.:
\[
u\in C_c^\infty (\mathbb{R}^N) \quad \Leftrightarrow \quad \begin{cases} u\in C^\infty (\mathbb{R}^N) \\ \exists K\subset \mathbb{R}^N:\ K \text{ è compatto non vuoto e } u(x)=0 \text{ per } x\notin K\end{cases}
\]
le funzioni che appartengono a tale spazio vengono usualmente dette funzioni test (o, semplicemente, test).
Il più piccolo compatto fuori da quale un test \(u\) è nullo si chiama supporto di \(u\) e si denota con \(\operatorname{supp} u\): si prova facilmente che \(\operatorname{supp} u= \text{chiusura di } \{x\in \mathbb{R}^N:\ u(x)\neq 0\}\) e, quindi, la seconda condizione di appartenenza allo spazio dei test equivale a richiedere che \(\operatorname{supp} u\) sia compatto in \(\mathbb{R}^N\). Per questa ragione le funzioni di \(C_c^\infty (\mathbb{R}^N)\) si chiamano anche funzioni regolari a supporto compatto
Ad esempio, per \(N=1\), il mollificatore standard:
\[
\phi_1(x) := \begin{cases} e^{1/(x^2-1)} &\text{, se } |x|<1\\
0 &\text{, altrimenti}
\end{cases}
\]
è una funzione di \(C_c^\infty (\mathbb{R})\) (la regolarità si dimostra per induzione, con un po' di contarielli) che ha \(\operatorname{supp} \phi_1 =[-1,1]\); viceversa, le funzioni:
\[
u(x):=\sin x \qquad \text{e} \qquad v(x):= \begin{cases} 1-x^2 &\text{, se } |x|<1 \\ 0 &\text{, altrimenti} \end{cases}
\]
non stanno in \(C_c^\infty (\mathbb{R})\) (perchè \(u\) è di classe \(C^\infty\) ma non ha supporto compatto, e \(v\) ha supporto compatto ma non è regolare).
Lo spazio \(L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N)\) è costituito da tutte le funzioni definite in \(\mathbb{R}^N\) il cui valore assoluto risulta integrabile (nel senso di Lebesgue) su ogni compatto \(K\subset \mathbb{R}^N\), cioè:
\[
f\in L_{loc}^1 (\mathbb{R}^N) \quad \Leftrightarrow \quad \forall K\subset \mathbb{R}^N \text{ compatto},\ \int_K |f(x)|\ \text{d} x<+\infty\; .
\]
Le funzioni di \(L_{loc}^1(\mathbb{R}^N)\) si chiamano funzioni localmente integrabili (l'avverbio "localmente" significa proprio che la tipica funzione della classe è integrabile sui "pezzi compatti" di \(\mathbb{R}^N\) ma può non esserlo su tutto lo spazio).
Ad esempio ogni funzione di classe \(C(\mathbb{R}^N)\) è una funzione di \(L_{loc}^1(\mathbb{R}^N)\) (però ci sono funzioni anche molto discontinue in tale classe); invece, per \(N=1\), una funzione che non sta in \(L_{loc}^1(\mathbb{R})\) è:
\[
g(x) := \begin{cases} 1/x^2 &\text{, per } x\neq 0 \\ 0 &\text{, per } x=0\; ,
\end{cases}
\]
perchè \(|g|=g\) non è integrabile su nessun compatto che contenga \(0\).
Inoltre, quando alludo ad un "compatto sufficientemente grande" nella definizione di convergenza nello spazio dei test, intendo dire che:
\[
\exists K\subset \mathbb{R}^N \text{ compatto}:\ \forall n\in \mathbb{N},\ \operatorname{suppp} u_n \subseteq K\; ,
\]
cioè che esiste un compatto in cui possono essere confinati tutti i supporti delle \(u_n\).
Per adesso ti rispondo alla domanda di metodi numerici. Il resto lo leggo domani mattina che ho la mente riposata .
Allora, metodi numerici è al secondo semestre del secondo anno, mentre teoria dei segnali è al primo semestre. Non c'è nessuna propedeuticità. Fatte analisi 1, fisica 1 e fondamenti di informatica, da noi puoi darti tutto quello che vuoi. Naturalmente non capirai quello che farai, ma sei libero di fare quello che vuoi.
Io personalmente, come avrai letto più volte, sono alla terzultima materia e metodi numerici l'ho data circa un anno fa e ho anche preso 30 e lode, ma non abbiamo mai trattato cose del genere. Il nostro programma ha riguardato le interpolazioni e le approssimazioni, tutta la teoria sull'errore e le trasformate e serie di Fourier. Non avevo mai sentito nominare la teoria delle distribuzioni prima di adesso
.Allora, metodi numerici è al secondo semestre del secondo anno, mentre teoria dei segnali è al primo semestre. Non c'è nessuna propedeuticità. Fatte analisi 1, fisica 1 e fondamenti di informatica, da noi puoi darti tutto quello che vuoi. Naturalmente non capirai quello che farai, ma sei libero di fare quello che vuoi.
Io personalmente, come avrai letto più volte, sono alla terzultima materia e metodi numerici l'ho data circa un anno fa e ho anche preso 30 e lode, ma non abbiamo mai trattato cose del genere. Il nostro programma ha riguardato le interpolazioni e le approssimazioni, tutta la teoria sull'errore e le trasformate e serie di Fourier. Non avevo mai sentito nominare la teoria delle distribuzioni prima di adesso
Ma che c'entra Metodi Numerici???
Io parlavo di Metodi Matematici per l'Inegneria... Insomma quel bell'insieme di: Analisi Complesa, Analisi di Fourier, Trasformate e Teoria delle Distribuzioni.
Io parlavo di Metodi Matematici per l'Inegneria... Insomma quel bell'insieme di: Analisi Complesa, Analisi di Fourier, Trasformate e Teoria delle Distribuzioni.
Esattamente, la nostra materia sia chiamava metodi matematici e numerici per l'ingegneria informatica, ma quello che abbiamo trattato è quello che ti ho detto prima
Tu sei uno studente o un docente? Se sei uno studente, che corso di laurea frequenti?
Tu sei uno studente o un docente? Se sei uno studente, che corso di laurea frequenti?
"AlexlovesUSA":
Tu sei uno studente o un docente? Se sei uno studente, che corso di laurea frequenti?
Sono un dottorando in Matematica (e sono anche un Matematico).
Ho fatto le esercitazioni di Metodi Matematici per un paio d'anni, perciò conosco l'articolo.
Ahh, mi fa piacere che mi risponda qualcuno abbastanza preparato in materia. Complimenti comunque e buona prosecuzione degli studi
Per quanto riguarda le tue delucidazioni, non ho ancora letto attentamente quello che hai scritto perchè sono stato impegnato. Le leggerò al più presto e se c'è qualcosa che non mi è chiara, non esiterò a chiedere
A Napoli che argomenti trattate nel corso di metodi matematici? Inoltre, quello di cui parli tu è un corso di ingegneria o un corso di matematica? ( Perchè la differenza c'è... e anche tanta ) In poche parole, quando mi sono iscritto io all'università, ovvero 4 anni fa, il corso che avrei dovuto frequentare al secondo anno si chiamava metodi matematici e numerici per l'ingegneria informatica. Quando io sono arrivato al secondo anno, c'è stato un cambiamento e hanno istituito un nuovo piano di studi. Alcune materie sono rimaste uguali, altre sono cambiate completamente. Naturalmente, per quelli come me iscritti l'anno precedente, il piano di studi rimaneva quello vecchio, ma le lezioni di molte materie non c'erano più e altre hanno cambiato il nome e, probabilmente, anche un po i contenuti. Infatti, metodi matematici e numerici si è chiamata semplicemente metodi numerici.
Comunque sia, il corso che ho seguito di metodi numerici è stato ottimo
P.S. Ho letto la tua spiegazione. Mi è tutto chiaro, tranne che l'ultima parte, ovvero, perchè le funzioni della classe $C( cc(R) ^N) $ sono tutte appartenenti a $L_loc$? La prima indica la classe delle funzioni differenziabili una volta, vero? Ma come è collegato al fatto che l'integrale del loro valore assoluto è convergente?
Inoltre, perchè la g non è integrabile in nessun compatto che contenga anche lo 0? Il compatto deve contenere perforza lo zero?
Per quanto riguarda le tue delucidazioni, non ho ancora letto attentamente quello che hai scritto perchè sono stato impegnato. Le leggerò al più presto e se c'è qualcosa che non mi è chiara, non esiterò a chiedere
A Napoli che argomenti trattate nel corso di metodi matematici? Inoltre, quello di cui parli tu è un corso di ingegneria o un corso di matematica? ( Perchè la differenza c'è... e anche tanta
) In poche parole, quando mi sono iscritto io all'università, ovvero 4 anni fa, il corso che avrei dovuto frequentare al secondo anno si chiamava metodi matematici e numerici per l'ingegneria informatica. Quando io sono arrivato al secondo anno, c'è stato un cambiamento e hanno istituito un nuovo piano di studi. Alcune materie sono rimaste uguali, altre sono cambiate completamente. Naturalmente, per quelli come me iscritti l'anno precedente, il piano di studi rimaneva quello vecchio, ma le lezioni di molte materie non c'erano più e altre hanno cambiato il nome e, probabilmente, anche un po i contenuti. Infatti, metodi matematici e numerici si è chiamata semplicemente metodi numerici.Comunque sia, il corso che ho seguito di metodi numerici è stato ottimo
P.S. Ho letto la tua spiegazione. Mi è tutto chiaro, tranne che l'ultima parte, ovvero, perchè le funzioni della classe $C( cc(R) ^N) $ sono tutte appartenenti a $L_loc$? La prima indica la classe delle funzioni differenziabili una volta, vero? Ma come è collegato al fatto che l'integrale del loro valore assoluto è convergente?
Inoltre, perchè la g non è integrabile in nessun compatto che contenga anche lo 0? Il compatto deve contenere perforza lo zero?
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