Dubbio su convergenza
Ciao ragazzi!
Ho un dubbio su questa serie...
Discutere, al variare del parametro a > 0, la convergenza delle serie
$sum_{n=1}^oo 1/a^log(n)$
Allora io ho pensato di usare una successione a essa asintotica o appartenente all "o piccolo" cioè $sum_{n=1}^oo 1/a^(1/n)$
(Infatti $lim_{n \to \infty} ((1/a^log(n))/(1/(a^(1/n)))) = 0$)
Ora uso il criterio della radice su di questo ovvero calcolo il
$lim_{n \to \infty} (1/a^(1/n))^(1/n) =1$ Qundi in teoria la serie dovrebbe essere convergente per ogni a (Lo stesso risultato viene utilizzando il criterio del rapporto)... ora non ho i risultati ma se il professore ha scritto di "discutere al variare di a" immagino che questa serie non sia sempre divergente... dove sbaglio?!
Grazie
Il mio dubbio maggiore è nel poter prendere una funzione o piccolo per studiare la convergenza ma negli esercizi svolti dal mio professore mi sembra che le usi...
Ho un dubbio su questa serie...
Discutere, al variare del parametro a > 0, la convergenza delle serie
$sum_{n=1}^oo 1/a^log(n)$
Allora io ho pensato di usare una successione a essa asintotica o appartenente all "o piccolo" cioè $sum_{n=1}^oo 1/a^(1/n)$
(Infatti $lim_{n \to \infty} ((1/a^log(n))/(1/(a^(1/n)))) = 0$)
Ora uso il criterio della radice su di questo ovvero calcolo il
$lim_{n \to \infty} (1/a^(1/n))^(1/n) =1$ Qundi in teoria la serie dovrebbe essere convergente per ogni a (Lo stesso risultato viene utilizzando il criterio del rapporto)... ora non ho i risultati ma se il professore ha scritto di "discutere al variare di a" immagino che questa serie non sia sempre divergente... dove sbaglio?!
Grazie
Il mio dubbio maggiore è nel poter prendere una funzione o piccolo per studiare la convergenza ma negli esercizi svolti dal mio professore mi sembra che le usi...
Risposte
Scusa, perché mai se il criterio della radice ti da 1 tu dici che la serie è convergente?
P.S. Prova a riscrivere la funzione in questo modo:
$1/a^log(n)= 1/(e^log(a))^log(n)= 1/n^log(a)$
P.S. Prova a riscrivere la funzione in questo modo:
$1/a^log(n)= 1/(e^log(a))^log(n)= 1/n^log(a)$
"Maci86":
Scusa, perché mai se il criterio della radice ti da 1 tu dici che la serie è convergente?
Cacchio scusa ho sbagliato intendevo divergente! ho proprio sbagliato a scrivere...
In realtà non si sa, a volte converge, a volte non converge, dipende 
Dal tuo risultato si capisce subito che la serie converge quando $log(a) > 1 => a > e$
Il problema è che pensavo che se il criterio della radice o del confronto non mi dasse un risultato < di 1 avrebbe voluto dire che serie è convergente mentre non è così!
Grazie mille per le risposte comunque!!
Il problema è che pensavo che se il criterio della radice o del confronto non mi dasse un risultato < di 1 avrebbe voluto dire che serie è convergente mentre non è così!
Grazie mille per le risposte comunque!!
"Thyeme":
Dal tuo risultato si capisce subito che la serie converge quando $log(a) > 1 => a > e$
Il problema è che pensavo che se il criterio della radice o del confronto non mi dasse un risultato < di 1 avrebbe voluto dire che serie è convergente mentre non è così!
Esatto! Son contento di essere stato d'aiuto
P.S. Prova a fare il test per $1/n$ e $1/n^2$, se non sbaglio fanno entrambi uno
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