Dubbio su continuità e derivabilità

[marco.surfing]

Non ho ben chiaro un argomento abbastanza generale.
quando in uno studio di funzione viene richiesto di studiare la contionuità e la derivabilità della funzione data, cosa devo fare effettivamente?
a lezione il docente parte in quarta sempre dicendo: la funzione è continua nel dominio e anche derivabile, senza spiegare nel dettaglio il perchè di tali affermazioni. cosa devo fare per capire se la funzione in esame è continua oppure no? derivabile oppure no? basta applicare la definizione? (come faccio a confermare PER OGNI x)

grazie mille per il vostro sempre prezione supporto.
marco

[Sidereus1]

"marco.surfing":Non ho ben chiaro un argomento abbastanza generale.
quando in uno studio di funzione viene richiesto di studiare la contionuità e la derivabilità della funzione data, cosa devo fare effettivamente?

Tenere a mente i teoremi sulle funzioni continue e sulle funzioni derivabili, nonché il dominio di definizione delle funzioni elementari che si usano normalmente.

Per esempio, se sai che tg x e cos x sono continue, allora cos (tg x) è continua (perché è composta da due funzioni continue), e anche tg x / cos x è continua, tranne nei punti dove cos x = 0 (perché il rapporto di funzioni continue è una funzione continua, tranne dove il denominatore è 0).

[maurymat]

A dirla tutta tg x non ha l'aria di essere molto continua eh, eh

[Sidereus1]

"maurymat":A dirla tutta tg x non ha l'aria di essere molto continua eh, eh

Non capisco

[adaBTTLS1]

... ritorniamo all'annosa questione: tgx non è definita ovunque, dunque non può essere continua per ogni x reale, però è continua per ogni x del suo dominio ...
ciao.

[maurymat]

Stai dicendo che tg x sarebbe continua mentre ha un'infinità di discontinuità ogni $\pi/2 + k\pi$

[maurymat]

dicevo a sidereus non a te Ada non avevo visto il tuo post

[Sidereus1]

"maurymat":Stai dicendo che tg x sarebbe continua mentre ha un'infinità di discontinuità ogni $\pi/2 + k\pi$

L'immagine inversa secondo tg x di un intervallo aperto è sempre un intervallo aperto o l'unione di un'infinità di intervalli aperti.. Dunque tg x è continua nel suo dominio, come giustamente dice adaBTTLS.

[adaBTTLS1]

vai con la funzione "cerca": anch'io, avendo ogni giorno a che fare con i testi delle superiori, mi ero "abituata" a sentir parlare di discontinuità di prima, seconda, terza specie, attraverso i limiti, e quindi considerando solo gli intorni del punto, senza "distinguere" la definizione della funzione nel punto.
questa definizione contrasta con la definizione topologica di continuità (continuità "e basta", non "continuità nel punto").
comunque io non ho detto che per $x=pi/2 + k pi$ la funzione è continua, ma che "non è definita", cosa che è ancora più potente della discontinuità, solo che dove non è definita in realtà non ha senso chiedersi se è continua. io ho detto solo che è continua per ogni x del suo dominio, e quei punti non appartengono al dominio. è chiaro?
ciao.

[adaBTTLS1]

sì, maurymat, anch'io quando ho risposto precedentemente non avevo visto il tuo post, e rispondevo a Sidereus.
solo che si adattava anche alla tua risposta.
l'ultimo post invece si riferiva a te, ma a quanto pare è stato inutile.
ciao a tutti e Buone Feste!

[marco.surfing]

scusate, ma alla fine che devo fà pe capì se la funzione è continua e derivabile?

[adaBTTLS1]

"Sidereus":[quote="marco.surfing"]Non ho ben chiaro un argomento abbastanza generale.
quando in uno studio di funzione viene richiesto di studiare la contionuità e la derivabilità della funzione data, cosa devo fare effettivamente?

Tenere a mente i teoremi sulle funzioni continue e sulle funzioni derivabili, nonché il dominio di definizione delle funzioni elementari che si usano normalmente.

Per esempio, se sai che tg x e cos x sono continue, allora cos (tg x) è continua (perché è composta da due funzioni continue), e anche tg x / cos x è continua, tranne nei punti dove cos x = 0 (perché il rapporto di funzioni continue è una funzione continua, tranne dove il denominatore è 0).[/quote]
devi ricondurti alle varie categorie di funzioni elementari e ai vari teoremi.
"di solito", le funzioni "normali" cioè quelle con una sola espressione analitica (cioè algebriche, goniometriche, esponenziali e logaritmiche, non "definite a tratti") sono continue nel loro dominio, cioè si tratta di trovare il dominio $D$ e individuare, oltre a tutti i punti di $RR-D$, altri eventuali punti critici come estremi dei vari intervalli che definiscono il dominio. ad esempio la funzione $f(x)=(sqrt(x))/(senx)$ non è definita se $x<0$, ed inoltre non è definita neppure se $senx=0$. però è continua per ogni punto del dominio. i punti critici sono quelli di accumulazione che non appartengono al dominio, cioè $x=kpi, k in NN$, compreso lo zero. per la derivata naturalmente non vanno presi i punti di non definizione della funzione né altri eventuali punti di discontinuità, e ci possono essere (spesso ci sono) degli altri punti critici in cui la derivata o non esiste o non è continua.
però il tutto va visto con la teoria. dovresti trovare la continuità delle funzioni elementari...
ciao.