Dubbio su connessione e connessione per archi in un esempio specifico

[Bbach]

Salve,
ho cercato già sul forum discussioni al riguardo, ne ho trovate alcune utili https://www.matematicamente.it/forum/insieme-connesso-ma-non-connesso-per-archi-t38664.html, https://www.matematicamente.it/forum/insieme-connesso-ma-non-connesso-per-archi-t38664.html, https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?t=169486 ma nessuna risolutiva.
So che:

- un insieme $X$ si dice connesso se non è esprimibile come unione di due insiemi aperti, disgiunti e non vuoti
- un insieme $X$ si dice connesso per archi se, $\forall a,b \in X$, esiste un arco che li congiunge interamente contenuto in $X$.
[/list:u:3oznp6vk]
Ho letto che sussiste il seguente teorema: se l'insieme è connesso per archi allora è connesso.

Tuttavia, a partire da un esempio, ho raggiunto la conclusione opposta e non capisco dove sia l'errore. L'esempio è il seguente: consideriamo in $\mathbb{R}^2$ l'unione di primo e terzo quadrante, assi esclusi, ma inclusa l'origine.

Se l'origine non appartenesse all'insieme, chiaramente l'insieme sarebbe non connesso (e i due quadranti sono le sue componenti connesse) ed anche non connesso per archi (se prendo un punto in un quadrante ed l'altro punto nell'altro quadrante, chiaramente non esiste alcun percorso che li congiunga interno all'insieme).

Se l'origine appartiene all'insieme, però, mi viene da dire che ora l'insieme è connesso per archi perché se pure prendo due punti ciascuno in un diverso quadrante, posso sempre trovare un percorso che li congiunga, passando appunto per l'origine.
Tuttavia, non mi sembra che l'insieme sia connesso. Infatti l'origine è punto di frontiera per l'insieme e se prendo come possibile componente connessa $A$ un quadrante (aperto), non è possibile trovare un altro insieme aperto, disgiunto, non vuoto $B$ che contenga l'altro quadrante e l'origine, perché, essendo aperto, per contenere l'origine dovrà sempre andare un po' al di là di essa e quindi si sovrapporrà all'insieme $A$.
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Edit:
Assodato quindi che quanto ho esposto finora è giusto, il prof del corso ha però detto che "Un insieme né aperto né chiuso si dice connesso quando lo è il suo interno."
Questo però mi sembra in contraddizione con questo esposto finora.

[otta96]

"Bbach":non è possibile trovare un altro insieme aperto, disgiunto, non vuoto $B$ che contenga l'altro quadrante e l'origine, perché, essendo aperto, per contenere l'origine dovrà sempre andare un po' al di là di essa e quindi si sovrapporrà all'insieme $A$.

E quindi è connesso. Non c'è nessun errore è connesso e connesso per archi.

[Bbach]

Sì hai ragione, ho fatto una gran confusione e mi sono contraddetto da solo. Modifico anche il primo post per maggiore chiarezza.
Assodato quindi che quanto ho esposto finora è giusto, il prof del corso ha però detto che "Un insieme né aperto né chiuso si dice connesso quando lo è il suo interno."
Questo però mi sembra in contraddizione con questo esposto finora. Infatti, poiché l'origine fa parte della frontiera dell'insieme, l'interno dell'insieme è non connesso e quindi, per quanto detto dal prof, anche l'insieme che include l'origine dovrebbe essere non connesso.
Dunque quanto sostenuto dal docente è errato? O c'è qualcosa che non ho capito?

[otta96]

"Bbach":"Un insieme né aperto né chiuso si dice connesso quando lo è il suo interno."

Non ha alcun senso questa cosa, sei sicuro che abbia detto così?

[Bbach]

Sono andato a riascoltare la registrazione e le parole esatte sono: "Un insieme né aperto né chiuso si dice connesso quando lo è il suo interiore". Credo che 'interiore' abbia il medesimo significato di 'interno', giusto?

[otta96]

Questa cosa non è vera, se ad esempio consideri $QQ^2$, non è nè aperto nè chiuso, non è connesso, ma il suo interno è il vuoto, che è connesso.