Dubbio su conclusione degli integrali impropri (Aggiornato)

[Tea-Rex]

Ciao!
Ho dei dubbi sulle conclusioni alla fine di uno studio su un paio di integrali impropri.

1) $lim_{x \to -\infty} \int_{0}^{x} (2e^t )/(e^t - t) dt$

2) $lim_{x \to +\infty} \int_{0}^{x} (2t )/(e^t - t) dt$

Ho fatto così:

1) $(e^t )/(e^t - t) ~ -(e^t)/t$ questo per $t \to -\infty$
Ma da qui non capisco se $-(e^t)/t$ sia convergente o meno. In aggiunta avrei anche detto che $-(e^t)/t ~ -1/t$ poichè $e^t \to 0$ per $t \to -\infty$ , che in teoria farebbe divergere l'integrale. Ma non sono sicuro che si possa fare. Con quale criterio posso capirlo? Sto consumando il mio libro di analisi I senza trovare nulla a riguardo.

2) $t/(e^t-t) ~ t/e^t ~ 1/e^t$ per $t \to +\infty$
Stesso discorso del punto precedente. Sul libro non c'è nulla riguardo la convergenza o divergenza di $1/e^t$ nella parte degli integrali impropri.

L'unico criterio che ho sul mio libro riguardante gli integrali impropri di seconda specie, sono che per $x \to \+-\infty$
$\int_{a}^{x} dt/t^\mu$ è convergente se e solo se $\mu > 1$

[dan952]

1) $\lim_{x \rightarrow -\infty} \int_{0}^{x}\frac{2e^t}{e^t-t}dt$

È conveniente fare un cambio di variabile $t \mapsto -u$, in modo che risulti
$$\lim_{y \rightarrow +\infty} \int_{0}^{y} \frac{2e^{-u}}{e^{-u}+u}du$$
Per $u$ sufficientemente grande $ue^{-u}$ e $u+e^{-u} ~ u$, dunque
$$\int_{0}^{y} \frac{2e^{-u}}{e^{-u}+u}du<\int_{0}^{y} \frac{2}{u^2}du$$
Il secondo membro è convergente per il criterio che hai sul libro, quindi sappiamo che il nostro integrale passando al limite è limitato superiormente, tuttavia osservando che la funzione integranda è sempre positiva abbiamo che
$$\int_{0}^{y} \frac{2e^{-u}}{e^{-u}+u}du>0$$
Per ogni $y \in (0,+\infty)$ e dunque per il teorema della permanenza del segno (teoria dei limiti) è limitato anche inferiormente da 0, concludiamo che converge.

[Tea-Rex]

Grazie per aver risposto!
Credo di aver capito il discorso. Mi sfugge una cosa, perchè si passa dal $\lim_{x \rightarrow -\infty} f(x)$ al $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)$ quando si fa il cambio di variabile?

Per il punto 2), quindi è corretto dire che il $lim_{x \to +\infty} int_{0}^{x} (2t)/(e^t-t) ~ lim_{x \to +\infty} int_{0}^{x} (2)/(e^t) = 2$?

[dan952]

Perché se sostituendo $t$ con $-u$ anche gli estremi del l'integrale cambiano (in realtà uno) diventato $0$ e $-x=y$ quindi diventa
$$\lim_{x \rightarrow -\infty} \int_{0}^{-x} \frac{2e^{-u}}{e^{-u}+u}du$$
Ma cambiando la variabile $-x$ con $y$ (in modo da togliere quel $-$ nell'estremo superiore dell'integrale) il scrivere il limite diventa in termini di $y$ per $y \rightarrow +\infty$


È formalmente scorretto dire che $\lim_{x \rightarrow +\infty} \cdots ~ \lim_{x \rightarrow +\infty} \cdots =2$
Non puoi mettere il limite in un'equivalenza asintotica perché è implicito nella definizione. Mi spiego meglio considero $f(x), g(x)$, dire $f(x)~g(x)$ significa che il limite per $\lim_{x \rightarrow +\infty} \frac{f}{g}=1$. Riprendendo il nostro caso scriviamo $f(x)=\int_{0}^{x} \frac{2t}{e^t-t}dt$ e $g(x)=\int_{0}^{x}\frac{2}{e^t}dt$, ora quello che hai scritto tu vuol dire che
$$\lim_{x \rightarrow +infty} \frac{\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)}{\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x)}=1$$
C'è un limite di troppo...inoltre stai dicendo che $\lim_{x \rightarrow +\infty} f(x)=\lim_{x \rightarrow +\infty} g(x)=2$ che non è vero perché se ti calcoli il primo integrale con wolfram non viene 2.
In conclusione, l' equivalenza asintotica usala con le funzioni integrande come ho fatto io. In questo caso $\frac{2t}{e^t-t} ~ \frac{2t}{e^t}$ e siccome per $t$ sufficientemente grande $t^3

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[Tea-Rex]

Ho capito tutto perfettamente!
Grazie mille, sei stato gentilissimo!
Grazie a voi sto veramente colmando le mie lacune e insicurezze!

P.s. ieri ho scritto un post, ma ancora non mi sono tolto alcuni dubbi. Se hai tempo e voglia, gli daresti un'occhiata? https://www.matematicamente.it/forum/viewtopic.php?f=36&t=175145

Ancora grazie!

[Tea-Rex]

Ho ancora una domanda su un'altra coppia di integrali impropri.
Scrivo ancora qui, così non occupo il forum con altri topic.

1) $lim_{x \to 0+} int_{e^(-3)}^{x} (9-log^2(x))/(3+log^2(x))$

2)1) $lim_{x \to +\infty} int_{e^(-3)}^{x} (9-log^2(x))/(3+log^2(x))$

L'integrale 1 converge, mentre il 2 diverge.

Provo a risolverli:

1) $(9-log^2(x))/(3+log^2(x))$ $\tilde$ $(-log^2(x))/(log^2(x)) = -1$ per $x \to 0+$
Io (probabilmente sbagliando), vedo $-1 = -1/x^0$ e quindi per me l'integrale diverge poichè $0<1$.

2) lo risolverei in modo analogo al punto 1. Cosa dovrei fare in un caso del genere?

Quando penso di aver capito tutto, trovo subito un esercizio dove non riesco ad applicare i concetti che ho appena capito! Che sconforto!!

[dissonance]

Lascia stare le magie tipo $1=x^0$. Devi capire bene il criterio del confronto. La funzione costante \(f(x)=-1\) è integrabile in un intorno di \(0\)? E allora, la funzione \(\frac{9-\log^2(x)}{3+\log^2(x)}\) è integrabile o no? Aiutati con qualche disegnino.

[Tea-Rex]

In conclusione, avendo trovato che l'integranda è $\tilde$ $-1$, dovrei semplicemente fare il $\lim_{x \to 0+} int_{e^(-3)}^{0} -1dt = \lim_{x \to 0+} int_{0}^{e^(-3)} 1 dt$? e in tal caso farebbe $x |_{0}^{e^(-3)} = e^(-3)$ quindi convergente.

E per il secondo, dato che farei lo stesso confronto, cioè $\tilde$ $-1$, otterrei poi $-x |_{e^(-3)}^{+oo} = -oo$ che è divergente.

[dissonance]

Proprio così.