Dubbio su calcolo flusso
Ciao a tutti avevo bisogno di un chiarimento in merito ad un esercizio del seguente tipo:
Dati il campo \(F(x,y,z)=(y,-x+1,z+xy) \) e la superficie \(\Sigma\) di equazione cartesiana \(z=x^2+y^2 \), definita su \(D={x^2+y^2 \leqslant 9 } \), calcolare il flusso di \(F\) attraverso \( \Sigma \), orientata verso l'alto.
L'approccio di soluzione proposto è il seguente:
\( \phi_{ \Sigma}(F) = \int_{ \Sigma} <(y,-x+1,z+xy) , \frac{(-2x,-2y,1)}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}}>d \Sigma =
\int_D (-2xy+2xy-2y+x^2+y^2+xy)dxdy \)
qui il testo semplifica tutti i termini tranne \(x^2+y^2\) riconducendo l'integrale a
\( \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{3} \rho ^3 d \rho =81/2 \pi \)
Non capisco perché avvenga quella semplificazione sopraindicata, anche perché, con il teorema della divergenza si ottiene il medesimo risultato indicato. Qualcuno potrebbe aiutarmi a fugare questo dubbio ?
Dati il campo \(F(x,y,z)=(y,-x+1,z+xy) \) e la superficie \(\Sigma\) di equazione cartesiana \(z=x^2+y^2 \), definita su \(D={x^2+y^2 \leqslant 9 } \), calcolare il flusso di \(F\) attraverso \( \Sigma \), orientata verso l'alto.
L'approccio di soluzione proposto è il seguente:
\( \phi_{ \Sigma}(F) = \int_{ \Sigma} <(y,-x+1,z+xy) , \frac{(-2x,-2y,1)}{\sqrt{4x^2+4y^2+1}}>d \Sigma =
\int_D (-2xy+2xy-2y+x^2+y^2+xy)dxdy \)
qui il testo semplifica tutti i termini tranne \(x^2+y^2\) riconducendo l'integrale a
\( \int_0^{2 \pi} d \theta \int_0^{3} \rho ^3 d \rho =81/2 \pi \)
Non capisco perché avvenga quella semplificazione sopraindicata, anche perché, con il teorema della divergenza si ottiene il medesimo risultato indicato. Qualcuno potrebbe aiutarmi a fugare questo dubbio ?
Risposte
$int_D (x^2+y^2+xy-2y) dxdy=int_D (x^2+y^2) dxdy+int_D xy dxdy-2int_D y dxdy$
Quando li passi in coordinate polari, calcola prima il secondo e il terzo e vedrai che sono rispettivamente del tipo $int_0^(2pi) sin(2theta)d theta$ e $int_0^(2pi) sin(theta)d theta$, quindi sono entrambi uguali a zero.
Quando li passi in coordinate polari, calcola prima il secondo e il terzo e vedrai che sono rispettivamente del tipo $int_0^(2pi) sin(2theta)d theta$ e $int_0^(2pi) sin(theta)d theta$, quindi sono entrambi uguali a zero.
Ti ringrazio tutto chiaro!