Dubbio su calcolo del flusso
Ciao a tutti, oggi facendo esercizi di analisi II in preparazione all'esame, mi è venuto un enorme dubbio sul calcolo del flusso: temo di non aver capito bene come riconoscere quando una superficie è chiusa o meno.
Dunque, so che posso applicare il teorema della divergenza solo se la superficie attraverso cui devo calcolare il flusso è chiusa e limitata, e semplice rispetto a tutti gli assi. Nel caso in cui la superficie non sia chiusa comunque, posso "tapparla" io e applicare gauss, a patto che poi sottragga, dall'integrale triplo della divergenza, i flussi attraverso tutti i "tappi" che ho aggiunto.
Quando negli esercizi mi si chiede di calcolare il flusso attraverso la superficie laterale di un cilindro o un cono, oppure attraverso una calotta sferica è chiaro che ho a che fare con una superficie non chiusa, e quindi devo procedere come descritto sopra.
Nella maggior parte degli esercizi però, ho a che fare con superfici di questo tipo:
$partial V$ dove $V=x^2 + y^2 + z^2 = R^2, z >= 0$ (semisfera di generico raggio R, che vive sulle z positive)
$partial V$ dove $V= {x^2 + y^2 <= z <= 2 + sqrt(x^2+y^2), x>= 0}$ (area compresa tra un paraboloide e un cono, limitate alle sole x positive)
$partial V$ dove $V= {(x,y,z)\in R: y\geq 0, x^2 + y^2 + z^2 \leq 9}$ (semisfera di raggio 3 che vive sulle y positive)
..quindi dove una variabile è limitata superiormente o inferiormente (o eventualmente compresa tra due valori).
Come devo considerare la superficie? chiusa o aperta?
Il mio dubbio deriva da un esercizio svolto in classe, dove avevamo una semisfera limitata alle z positive (non strettamente): l'abbiamo considerata aperta, quindi abbiamo calcolato il flusso totale con la divergenza, poi abbiamo sottratto il flusso attraverso la circonferenza sul piano xy, che però veniva nullo.
Inoltre, se invece la variabile fosse limitata come sopra, ma con il maggiore o il minore stretti, sarebbe sicuramente aperta, giusto?
Dunque, so che posso applicare il teorema della divergenza solo se la superficie attraverso cui devo calcolare il flusso è chiusa e limitata, e semplice rispetto a tutti gli assi. Nel caso in cui la superficie non sia chiusa comunque, posso "tapparla" io e applicare gauss, a patto che poi sottragga, dall'integrale triplo della divergenza, i flussi attraverso tutti i "tappi" che ho aggiunto.
Quando negli esercizi mi si chiede di calcolare il flusso attraverso la superficie laterale di un cilindro o un cono, oppure attraverso una calotta sferica è chiaro che ho a che fare con una superficie non chiusa, e quindi devo procedere come descritto sopra.
Nella maggior parte degli esercizi però, ho a che fare con superfici di questo tipo:
$partial V$ dove $V=x^2 + y^2 + z^2 = R^2, z >= 0$ (semisfera di generico raggio R, che vive sulle z positive)
$partial V$ dove $V= {x^2 + y^2 <= z <= 2 + sqrt(x^2+y^2), x>= 0}$ (area compresa tra un paraboloide e un cono, limitate alle sole x positive)
$partial V$ dove $V= {(x,y,z)\in R: y\geq 0, x^2 + y^2 + z^2 \leq 9}$ (semisfera di raggio 3 che vive sulle y positive)
..quindi dove una variabile è limitata superiormente o inferiormente (o eventualmente compresa tra due valori).
Come devo considerare la superficie? chiusa o aperta?
Il mio dubbio deriva da un esercizio svolto in classe, dove avevamo una semisfera limitata alle z positive (non strettamente): l'abbiamo considerata aperta, quindi abbiamo calcolato il flusso totale con la divergenza, poi abbiamo sottratto il flusso attraverso la circonferenza sul piano xy, che però veniva nullo.
Inoltre, se invece la variabile fosse limitata come sopra, ma con il maggiore o il minore stretti, sarebbe sicuramente aperta, giusto?
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