Dubbio su aspetto teorico delle successioni!
Buongiorno a tutti =)
Qualcuno mi sa dire perchè ogni successione è valida solo dopo un determinato indice? cioè che funzione ha la soglia?
Qualcuno mi sa dire perchè ogni successione è valida solo dopo un determinato indice? cioè che funzione ha la soglia?
Risposte
Se volessi spiegare meglio cosa vuoi chiedere, quale sia il senso della domanda, te ne saremmo immensamente grati.
Scusate credevo di essere stata chiara =(
Ad ogni modo, riguarda le successioni e in particolare la definizione di successione applicando i limiti cioè:
$ lim_(n-> +oo ) (s) = ahArr $ per ogni intorno di ampiezza Epselon esiste un indice v tale che la successione s si trovi nell'intorno di ampiezza epselon di a, PER OGNI n > v (s è una successione qualsiasi)
ecco quello che intendevo! la definizione di successione è valida se a partire da una determinata soglia v e non per ogni n! Perchè?
Ecco quello che intendevo! spero di essere stata più chiara!
Ad ogni modo, riguarda le successioni e in particolare la definizione di successione applicando i limiti cioè:
$ lim_(n-> +oo ) (s) = ahArr $ per ogni intorno di ampiezza Epselon esiste un indice v tale che la successione s si trovi nell'intorno di ampiezza epselon di a, PER OGNI n > v (s è una successione qualsiasi)
ecco quello che intendevo! la definizione di successione è valida se a partire da una determinata soglia v e non per ogni n! Perchè?
Ecco quello che intendevo! spero di essere stata più chiara!
No che non sei stata chiara.
Hai una grossa confusione in testa.
La domanda che poni riguarda la definizione di limite per le successioni, mica l'insieme di definizione di una successione (come sembrerebbe leggendo la frase "la definizione di successione è valida se a partire da una determinata soglia v e non per ogni n").
L'idea della definizione di limite è semplice: [tex]$\lim_n a_n=a$[/tex] se e solo se, comunque scelgo un intorno del punto [tex]$a$[/tex], tutti i termini della successione cadono in quell'intorno a partire da un certo indice [tex]$\nu$[/tex] in poi.
Per farti capire il senso ti faccio un esempio pratico: stai andando da Napoli a Milano in macchina. Allora, da un certo istante in poi, devi trovarti nell'Italia centro-settentrionale; poi, da un certo istante più grande in poi, devi trovarti in Lombardia; poi, da un certo istante più grande in poi, devi trovarti nella provincia di Milano; poi, da un certo altro istante più grande, devi trovarti nel comune di Milano...
Vedi che, stringendo stringendo l'intorno di Milano (Italia centro-settentrionale, Lombardia, provincia, comune, ...), ti troverai dentro quell'intorno a partire da un certo istante in poi e tale istante diviene via via più grande man mano che l'intorno si stringe.
Ora, al posto di te in macchina pensa gli [tex]$a_n$[/tex], al posto di Milano pensa [tex]$a$[/tex] ed al posto dell'istante di tempo immagina [tex]$\nu$[/tex]... Praticamente è lo stesso.
Hai una grossa confusione in testa.
La domanda che poni riguarda la definizione di limite per le successioni, mica l'insieme di definizione di una successione (come sembrerebbe leggendo la frase "la definizione di successione è valida se a partire da una determinata soglia v e non per ogni n").
L'idea della definizione di limite è semplice: [tex]$\lim_n a_n=a$[/tex] se e solo se, comunque scelgo un intorno del punto [tex]$a$[/tex], tutti i termini della successione cadono in quell'intorno a partire da un certo indice [tex]$\nu$[/tex] in poi.
Per farti capire il senso ti faccio un esempio pratico: stai andando da Napoli a Milano in macchina. Allora, da un certo istante in poi, devi trovarti nell'Italia centro-settentrionale; poi, da un certo istante più grande in poi, devi trovarti in Lombardia; poi, da un certo istante più grande in poi, devi trovarti nella provincia di Milano; poi, da un certo altro istante più grande, devi trovarti nel comune di Milano...
Vedi che, stringendo stringendo l'intorno di Milano (Italia centro-settentrionale, Lombardia, provincia, comune, ...), ti troverai dentro quell'intorno a partire da un certo istante in poi e tale istante diviene via via più grande man mano che l'intorno si stringe.
Ora, al posto di te in macchina pensa gli [tex]$a_n$[/tex], al posto di Milano pensa [tex]$a$[/tex] ed al posto dell'istante di tempo immagina [tex]$\nu$[/tex]... Praticamente è lo stesso.
Se vale tutta quella bella proprietà ($AA epsilon > 0 , EE v : AA n , n > v Rightarrow |a_n - a| < epsilon$ ) allora puoi dire che la successione è convergente ad $a$.
Questo significa che comunque consideri un intorno di $a$, devi essere in grado di trovare almeno un $v$, cioè un intorno di $+oo$ (vedi bene che trovare $v$ equivale a trovare un intorno di $+oo$, cioè l'insieme degli $n$ tali che $n > v$) tale che per tutti gli indici dell'intorno ($n > v$), $a_n$ sta in $] a - epsilon, a + epsilon [$.
L'intorno che consideri $] a - epsilon, a + epsilon [$ lo potresti prendere grande quanto vuoi scegliendo $epsilon$ gigantesco o $epsilon$ minuscolo. Ma la cosa importante è che, se fissi il raggio dell'intorno $epsilon$, esista sempre un $v$ tale che - da quel naturale $v$ in poi - $a_n$ sta in $] a - epsilon, a + epsilon [$.
Edit: Ops, scusa per la sovrapposta risposta.
Questo significa che comunque consideri un intorno di $a$, devi essere in grado di trovare almeno un $v$, cioè un intorno di $+oo$ (vedi bene che trovare $v$ equivale a trovare un intorno di $+oo$, cioè l'insieme degli $n$ tali che $n > v$) tale che per tutti gli indici dell'intorno ($n > v$), $a_n$ sta in $] a - epsilon, a + epsilon [$.
L'intorno che consideri $] a - epsilon, a + epsilon [$ lo potresti prendere grande quanto vuoi scegliendo $epsilon$ gigantesco o $epsilon$ minuscolo. Ma la cosa importante è che, se fissi il raggio dell'intorno $epsilon$, esista sempre un $v$ tale che - da quel naturale $v$ in poi - $a_n$ sta in $] a - epsilon, a + epsilon [$.
Edit: Ops, scusa per la sovrapposta risposta.
Grazie per le risposte ora ho capito! =)
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